Sobre la conjetura del hiperplano.

Recientemente escuché sobre la conjetura del hiperplano y me gustaría entender mejor la problemática detrás de esta conjetura.

La conjetura del hiperplano: existe una constante universal C > 0 tal que

C ≤ C d := inf ( máximo ( V d − 1 ( H ∩ k ) : H ∈ H d ) :   k  convexo en  R d  y  V d ( k ) = 1 ) ∀ d ≥ 2
dónde H d es el conjunto del hiperplano en R d y V d es el d -volumen dimensional.

Básicamente dice que la sección hiperplana máxima de cualquier cuerpo convexo no puede ser realmente pequeña en comparación con su volumen. Para mí, se parece a una desigualdad isoperimétrica.

Tengo varias preguntas y, en lugar de abrir muchas preguntas diferentes, las publico todas aquí con la esperanza de obtener respuestas para al menos algunas de ellas. Las respuestas parciales y los comentarios relacionados con la conjetura pero no con una de las siguientes preguntas son realmente bienvenidos.

  1. ¿Hay una justificación simple por la que deberíamos tener C d > 0 para cualquier d ?
  2. ¿Qué cuerpo convexo (de volumen 1 ) tiene la sección máxima más pequeña en dimensión 2 ? (Supongo que el disco, pero tal vez tengo la intuición equivocada).
  3. ¿Qué cuerpo convexo (de volumen 1 ) tiene la sección máxima más pequeña en dimensión 3 ?
  4. ¿Cuál es la sección máxima del hiperplano de un cubo unitario?

  5. ¿Puede dar otros ejemplos de secciones máximas de algún cuerpo convexo específico en baja dimensión?

    5 bis: ¿Puede dar un ejemplo de cuerpo convexo (de volumen 1 ) con una sección hiperplana máxima menor que la de la bola (de volumen 1 ).

  6. ¿De dónde viene esta conjetura?
  7. Además de dar un límite inferior, ¿sabemos algo sobre el comportamiento de la sucesión? ( C d ) d ≥ 2 ? ¿Está disminuyendo? ¿Por qué?
  8. ¿Hay alguna encuesta sobre esta conjetura?

Respuestas:

  1. ..
  2. Emanuele Paolini explicó por qué es el problema isodiamétrico. El disco es la solución a este problema. Ha sido probado por Bieberbach en 1915 (en alemán), encontré esta referencia en la introducción del artículo Isodiametric Problems for Polygons de Michael J. Mossinghoff.
  3. ..
  4. El teorema 6 de " Volúmenes de secciones de cubos y problemas relacionados " de Keith Ball establece la sección máxima de un cubo unidad en R d es 2 . Esta sección es la generalización de la diagonal de un cuadrado. Más precisamente, está atravesado por un ( d − 2 ) -cara dimensional del cubo y la diagonal de un 2 cara ortogonal -dimensional.

  5. Einar Rødland da la sección máxima para el claro ejemplo de la esfera de dimensión d y volumen 1 : Γ ( d / 2 + 1 ) d − 1 d Γ ( d / 2 + 1 / 2 ) → mi (cuando d → ∞ ). Otros ejemplos menos claros son realmente bienvenidos para completar la lista.

    5 bis: Cuando la dimensión es suficientemente alta ( d ≥ 10 ), el cubo tiene una sección de hiperplano máxima más pequeña que la bola porque 2 < mi .

algunos comentarios interesantes al final de la siguiente publicación: blogs.princeton.edu/imabandit/2013/06/22/…

Respuestas (2)

Aproximadamente 2. En el avión el 1 -el volumen de la seccion maxima del hiperplano, no es mas que el diametro del conjunto. De hecho, como el conjunto es convexo, cada sección es un segmento y cada diámetro es una sección. Entonces el problema se convierte en el problema isodiamétrico, cuya solución se sabe que es el disco.

1. Sí, pero esta bola puede ser arbitrariamente pequeña. Piensa en un rectángulo con un lado pequeño y el otro largo. Entonces su argumento no implica que C d es de límite inferior.
tienes razón... elimino esa parte.
Meta pregunta: ¿Deberíamos eliminar los dos comentarios anteriores?

Mi intuición es que la forma que daría la sección de hiperplano más pequeña sería la d -pelota. Si ese es el caso, el d -volumen de un d -bola de radio r es v d r d dónde v d = π d / 2 / Γ ( d / 2 + 1 ) . Si r d = v d − 1 / d es el radio que da el volumen 1 y lo reemplazamos en el d − 1 -volumen de la sección del hiperplano ecuatorial v d − 1 r d d − 1 , obtenemos la relación

C d = ? v d − 1 r d d − 1 = Γ ( d / 2 + 1 ) d − 1 d Γ ( d / 2 + 1 / 2 ) → mi 1 / 2  como  d → ∞
a menos que de alguna manera arruiné los cálculos aquí.

La lógica detrás de este presentimiento es que cualquier perturbación del d -bola que conserva la d -el volumen tendría que aumentar el d − 1 -volumen de al menos alguna de las secciones.

Si esto es cierto, haría C d > 0 y C > 0 con buen margen.

Por supuesto, puede que me equivoque y la hipótesis siga siendo cierta...

De hecho, tuve la misma sensación que tú sobre la esfera. Pero en la introducción del siguiente artículo: arxiv.org/abs/math/0612517 dicen que la conjetura permanece abierta desde hace más de dos décadas. Así que supongo que el problema no es tan simple. Y es por eso que publiqué esta pregunta aquí.
Si en lugar de considerar la sección del hiperplano consideramos la sección de línea entonces este es el problema isodiamétrico. Este es el caso en la dimensión 2, por ejemplo, como lo notó @Emanuele Paolini. En la dimensión 2, mencioné una referencia en mi pregunta que prueba que el disco minimiza el isodiámetro. No tengo referencia para una dimensión superior, pero supongo que el problema del isodiámetro ya se ha considerado y que la esfera es la solución en cualquier dimensión. Ahora me parece mucho menos claro que funcione igual para la sección del hiperplano... No lo veo.
Por supuesto, mi instinto puede estar equivocado. Pero también puede ser que sea correcto, solo que es muy difícil hacer una prueba formalmente correcta de ello... al igual que con el empaquetamiento de esferas donde la respuesta fue "conocida" durante siglos antes de que alguien pudiera probarla.
Acabo de darme cuenta hoy de que la bola no tiene la forma con la sección de hiperplano más pequeña cuando la dimensión es lo suficientemente alta. Como dices, la proporción de la pelota tiende a mi 1 / 2 cuando d → ∞ . Pero la razón para el cubo es constante igual a 2 1 / 2 cuando sea d ≥ 2 . Y desde 2 < mi , la razón del cubo es menor que la razón de la pelota si d es lo suficientemente grande
Sobre la conjetura del hiperplano.
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