Una pregunta sobre el uso de la concavidad del logaritmo en la optimización convexa de Boyd & Vandenberghe

Question

Una pregunta sobre el uso de la concavidad del logaritmo en la optimización convexa de Boyd & Vandenberghe

desigualdad
logaritmos
Matemáticas
análisis convexo

Suineg

De la página 592 de Optimización convexa de Boyd & Vandenberghe ,

Usando la concavidad del logaritmo, también tenemos
$\begin{matrix} (1) & registro (1 + 1 / \sqrt{metro}) \geq (registro 2) / \sqrt{metro} \end{matrix}$ $\log(1 + 1/\sqrt{m}) \ge (\log 2)/\sqrt{m} \tag{1}$

¿Cómo podemos hacer uso de la concavidad del logaritmo para obtener $(1)$ ? En realidad, podemos reemplazar $1/\sqrt{m}$ con $x$ para simplificar nuestras notaciones y obtener

registro (1 + X) \geq (registro 2) X

$\log(1 + x) \ge (\log 2)x$

Esto parece fácil. Perdí algunas horas en este problema, pero no pude probarlo.

En la publicación original, omití el contexto en el libro. Lo lamento. Específicamente, $m$ denota el número de desigualdades que implica $0<1/\sqrt{m}\le 1$ y $0<x\le 1$ . Ahora todo está claro.

usuario2554330

Algo está mal aquí. En la segunda versión con

x = 100

$x = 100$ , el LHS es mucho más pequeño que el RHS. Obtienes los mismos valores en la primera versión con

m = 0.0001

$m = 0.0001$ .

usuario2554330

Como dice Siong Thye Goh a continuación, la desigualdad depende de

m \geq 1

$m \ge 1$ , o

0 \leq x \leq 1

$0 \le x \le 1$ . @RodrigodeAzevedo, está en la sección 11.5.3, en la pág. 591 en la edición en línea.

Suineg

@usuario2554330

m

$m$ denota el número de desigualdades que son números enteros positivos. Mejoré la pregunta original. Perdón por la ambigüedad anterior.

Suineg

@RodrigodeAzevedo En la sección 11.5.3, la desigualdad mencionada está justo arriba

(11.29)

$(11.29)$ .

Respuestas (1)

Una pregunta sobre el uso de la concavidad del logaritmo en la optimización convexa de Boyd & Vandenberghe

Algo está mal aquí. En la segunda versión con $x = 100$ , el LHS es mucho más pequeño que el RHS. Obtienes los mismos valores en la primera versión con $m = 0.0001$ .
Como dice Siong Thye Goh a continuación, la desigualdad depende de $m \ge 1$ , o $0 \le x \le 1$ . @RodrigodeAzevedo, está en la sección 11.5.3, en la pág. 591 en la edición en línea.
@usuario2554330 $m$ denota el número de desigualdades que son números enteros positivos. Mejoré la pregunta original. Perdón por la ambigüedad anterior.
@RodrigodeAzevedo En la sección 11.5.3, la desigualdad mencionada está justo arriba $(11.29)$ .

Siong Thye Goh · Answer 1

Para la función cóncava, tenemos

F (λ X + (1 - λ) y) \geq λ F (X) + (1 - λ) F (y)

$f(\lambda x + (1-\lambda)y) \ge \lambda f(x) + (1-\lambda ) f(y)$

Por lo tanto, si $m \ge 1$ ,

\begin{aligned} registro (1 + \frac{1}{\sqrt{metro}}) & = registro (1 - \frac{1}{\sqrt{metro}} + \frac{2}{\sqrt{metro}}) \\ = registro ((1 - \frac{1}{\sqrt{metro}}) 1 + (\frac{1}{\sqrt{metro}}) 2) \\ \geq (1 - \frac{1}{\sqrt{metro}}) registro 1 + (\frac{1}{\sqrt{metro}}) registro 2 \\ = (\frac{1}{\sqrt{metro}}) registro 2 \end{aligned}

$\begin{align} \log \left( 1+\frac1{\sqrt{m}}\right) &= \log \left( 1-\frac1{\sqrt{m}}+\frac{2}{\sqrt{m}}\right)\\ &=\log \left( \left( 1-\frac1{\sqrt{m}}\right)1+\left(\frac{1}{\sqrt{m}}\right) 2\right)\\ &\ge \left( 1-\frac1{\sqrt{m}}\right)\log 1 + \left(\frac{1}{\sqrt{m}}\right) \log 2\\ &= \left(\frac{1}{\sqrt{m}}\right) \log 2 \end{align}$

Pero tu $\lambda$ no está dentro $[0,1]$ para todos $m$ . Por ejemplo, para $m=0.0001$ como en mi comentario anterior, $\lambda = -99$ .
necesitamos la suposición de $m \ge 1$ . Estoy de acuerdo contigo en que si $m<1$ . no es cierto. aquí hay un gráfico.
@SiongThyeGoh $m$ representa el número de desigualdades en el libro. Lo lamento. Ya modifiqué la publicación original.

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