Recientemente escuché sobre la conjetura del hiperplano y me gustaría entender mejor la problemática detrás de esta conjetura.
La conjetura del hiperplano: existe una constante universal tal que
Básicamente dice que la sección hiperplana máxima de cualquier cuerpo convexo no puede ser realmente pequeña en comparación con su volumen. Para mí, se parece a una desigualdad isoperimétrica.
Tengo varias preguntas y, en lugar de abrir muchas preguntas diferentes, las publico todas aquí con la esperanza de obtener respuestas para al menos algunas de ellas. Las respuestas parciales y los comentarios relacionados con la conjetura pero no con una de las siguientes preguntas son realmente bienvenidos.
¿Puede dar otros ejemplos de secciones máximas de algún cuerpo convexo específico en baja dimensión?
5 bis: ¿Puede dar un ejemplo de cuerpo convexo (de volumen ) con una sección hiperplana máxima menor que la de la bola (de volumen ).
Respuestas:
Einar Rødland da la sección máxima para el claro ejemplo de la esfera de dimensión y volumen : (cuando ). Otros ejemplos menos claros son realmente bienvenidos para completar la lista.
5 bis: Cuando la dimensión es suficientemente alta ( ), el cubo tiene una sección de hiperplano máxima más pequeña que la bola porque .
Aproximadamente 2. En el avión el -el volumen de la seccion maxima del hiperplano, no es mas que el diametro del conjunto. De hecho, como el conjunto es convexo, cada sección es un segmento y cada diámetro es una sección. Entonces el problema se convierte en el problema isodiamétrico, cuya solución se sabe que es el disco.
Mi intuición es que la forma que daría la sección de hiperplano más pequeña sería la -pelota. Si ese es el caso, el -volumen de un -bola de radio es dónde . Si es el radio que da el volumen 1 y lo reemplazamos en el -volumen de la sección del hiperplano ecuatorial , obtenemos la relación
La lógica detrás de este presentimiento es que cualquier perturbación del -bola que conserva la -el volumen tendría que aumentar el -volumen de al menos alguna de las secciones.
Si esto es cierto, haría y con buen margen.
Por supuesto, puede que me equivoque y la hipótesis siga siendo cierta...
capo de gilles