Desigualdad que involucra una función convexa creciente

Estoy tratando de probar/refutar la siguiente afirmación:

Dejar$x_1 \geq \cdots \geq x_n$,$y_1 \geq \cdots \geq y_n$ser números reales satisfactorios$x_1 + \cdots + x_k \leq y_1 + \cdots + y_k$para todos$1 \leq k \leq n$. Dejar$f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$sea ​​una función convexa creciente. Entonces uno tiene$f(x_1) + \cdots + f(x_n) \leq f(y_1) + \cdots + f(y_n)$.

El caso$n=1$es trivial, y el caso$n=2$puede probarse como sigue:

Asumir$x_2 > y_2$, ya que de lo contrario la conclusión se sigue trivialmente. Entonces podemos tomar$c_1 \geq c_2 \geq 0$calle$\begin{cases} f(y_1)-f(x_1) \geq c_1 (y_1-x_1)\\ f(x_2)-f(y_2) \leq c_2(x_2-y_2) \end{cases}$

(por ejemplo, si$f$es diferenciable, entonces podemos tomar$c_1 = f'(x_1) \geq f'(x_2) = c_2$.)

Entonces vemos que$f(y_1)+ f(y_2)-f(x_1)-f(x_2) \geq c_1(y_1-x_1) + c_2(y_2-x_2) \geq c_2(y_1+y_2-x_1-x_2) \geq 0$.

Pero tengo dificultad para extender esta prueba al caso$n\geq 3$. Cualquier ayuda/comentario será apreciado. Gracias.