¿Cómo puedo probar que esta secuencia es decreciente SIN usar inducción?

me dan una secuencia$a_1=\ln(5)$y$a_n=\ln\left( \frac{e^{2a_{n-1}}+16}{10}\right)$, para$n\geq 2$y me piden que demuestre que$a_n \geq 0$para todos$n \geq 1$.

Puedo hacer esto fácilmente con inducción matemática.

Caso base:$\ln(5) \geq0$

Hipótesis de inducción:$a_k \geq 0$para todos$n=k$

Paso de inducción:

$a_k \geq 0$

$2a_k \geq 0$

$e^{2a_k} \geq 1$

$e^{2a_k} + 16 \geq 17$

$\frac{e^{2a_k} + 16}{10} \geq \frac{17}{10}$

$\ln\left( \frac{e^{2_{a_k}}+16}{10}\right) \geq \ln \left( \frac{17}{10} \right) \geq 0$

$a_{k+1} \geq 0$

Como he demostrado que mi hipótesis de inducción es verdadera para todos$n=k+1$, He terminado.

SIN EMBARGO, esto es supuestamente posible de hacer SIN inducción matemática. ¿Cómo haría para hacer eso? Por contexto, este es un curso de cálculo de nivel de introducción que aún no ha cubierto el concepto de límite.