demostrando una desigualdad por contrapositiva

Question

demostrando una desigualdad por contrapositiva

desigualdad
Matemáticas
am-gm-desigualdad
solución-verificación

osdinuto

Sean a y b números reales arbitrarios. Proporcione una prueba por contrapositiva para la desigualdad dada.

$a^2 + b^2 ≥ 2ab$

¿Cómo se supone que voy a probar esto por contrapositivo? ¿Debo asumir $a^2 + b^2 < 2ab$ y, a continuación, mostrar al menos uno de $a$ y $b$ ¿no es real?

Juan Omielan

Con respecto al uso de la prueba por contraposición , tiene la idea correcta.

Juan Omielan

FYI, usando Approach0 , encontré el hilo AoPS interesante en ineq donde la Solución en el mensaje #

3

$3$ indica cómo puede proceder (siendo muy similar a esta respuesta aquí).

Respuestas (2)

demostrando una desigualdad por contrapositiva

Con respecto al uso de la prueba por contraposición , tiene la idea correcta.
FYI, usando Approach0 , encontré el hilo AoPS interesante en ineq donde la Solución en el mensaje # $3$ indica cómo puede proceder (siendo muy similar a esta respuesta aquí).

jose carlos santos · Answer 1

Debes probar que la desigualdad $a^2+b^2<2ab$ conduce a una contradicción si usted está trabajando en $\Bbb R$ . Eso es así porque

\begin{aligned} a^{2} + b^{2} < 2 a b & ⟺ a^{2} - 2 a b + b^{2} < 0 \\ ⟺ (a - b)^{2} < 0 \end{aligned}

$\begin{align}a^2+b^2<2ab&\iff a^2-2ab+b^2<0\\&\iff(a-b)^2<0\end{align}$ y no hay ningún número real cuyo cuadrado sea menor que

0

$0$ .

ryang · Answer 2

El enunciado a probar es este:

\begin{matrix} (1) & a, b \in R ⟹ a^{2} + b^{2} \geq 2 a b . \end{matrix}

$a,b\in\mathbb R\implies a^2 + b^2 ≥ 2ab\tag1.$ Para probar la declaración

(1)

$(1)$ por medios contrapositivos para probar esta declaración (equivalente):

\begin{matrix} (2) & a^{2} + b^{2} < 2 a b ⟹ a \notin R o b \notin R . \end{matrix}

$a^2 + b^2 < 2ab \implies a\not\in\mathbb R \;\text{or}\; b\not\in\mathbb R \tag2.$ la prueba de

(2)

$(2)$ está en la oración final de la respuesta de José.

PD Toda prueba por contraposición (como es el caso aquí) puede reformularse como prueba por contradicción. Sin embargo, no toda prueba por contradicción puede reformularse como prueba por contraposición.

demostrando una desigualdad por contrapositiva

osdinuto

Juan Omielan

Juan Omielan

Respuestas (2)

jose carlos santos

ryang

¿Es verdadera la siguiente generalización de la desigualdad de Cauchy-Schwarz?

Desigualdad HM−GM−AMHM−GM−AMHM-GM-AM usando multiplicadores de Lagrange

Duda en solución de APMO 1998 Problema de desigualdad

Rango de xxx para el cual la desigualdad del módulo será válida: |x2−2x−8|>2x|x2−2x−8|>2x|x^2-2x-8| > 2x: necesita aclaración sobre el conjunto de soluciones

como resolver la siguiente desigualdad

pregunta sobre la desigualdad AM-GM ab<(a^2+b^2)/2 [cerrado]

Demostrar 2aba+b≤ab−−√2aba+b≤ab\frac{2ab}{a+b}\leq\sqrt {ab}

Dados números reales no negativos, a,b,ca,b,ca, b, c, demuestre que 2a+2ab+abc≤182a+2ab+abc≤182a + 2ab + abc \leq 18 cuando a+b+c= 5a+b+c=5a + b + c = 5

¿Cómo comparar los logaritmos log45log4⁡5\log_4 5 y log56log5⁡6\log_5 6?

Comprender los valores absolutos con desigualdades