como resolver la siguiente desigualdad

Estoy atascado en el siguiente problema que dice:

Si$a,b,c$son tres números positivos en progresión armónica, demuestre que

$$a^n+c^n>2b^n, n>1$$ , $n$es un número natural.

Mi intento: Desde$a,b,c$son tres números positivos en progresión armónica,

$$\frac1a,\frac1b,\frac1c$$ están en progresión aritmética que da $$\frac1a+\frac1c=\frac2b \implies b(a+c)=2ac.$$

Además, sabemos que si$a_1,a_2,a_3,...........,a_n$son$n$números reales positivos, no todos iguales, y$m$Sea un número racional, entonces

$$\frac{a_1^m+a_2^m+a_3^m+...........+a_n^m}{n}> \text{or}< \left(\frac{a_1+a_2+a_3+...........+a_n}{n}\right)^m$$ a medida que $m$no se encuentra o se encuentra entre $0$y $1$

Y entonces,

$$\frac{a^n+c^n}{2}>\left(\frac{a+c}{2}\right)^n=\left(\frac{2ac}{b}\right)^n$$ ..

Ahora, estoy atascado. Por favor ayuda.

Gracias de antemano por tu tiempo.