Desigualdad HM−GM−AMHM−GM−AMHM-GM-AM usando multiplicadores de Lagrange

La primera desigualdad es solo la segunda después de la sustitución.$\frac{1}{x_i}\rightarrow x_i$.

Probaremos la segunda desigualdad.

Dejar$\prod\limits_{i=1}^nx_i=1$.

Por lo tanto, necesitamos probar que

$$\sum_{i=1}^nx_i\geq n.$$ Ahora deja $$f(x_1,...,x_n,\lambda)=\sum_{i=1}^nx_i-n+\lambda\left(\prod_{i=1}^nx_i-1\right).$$

De este modo,

$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=1+\lambda\prod_{k\neq i}^nx_k=0,$$ lo que da $x_i+\lambda=0$para todos $i$, que dice $x_i=x_j$para todos $i$y $j$.

De este modo,$(1,1,...,1)$es un punto crítico y no tenemos otros puntos críticos.

Ahora bien, es obvio que no puede ser un punto máximo.

En otra mano

$$\{(x_1,x_2,...,x_n,\lambda)|x_i\geq0\}$$ es compacto y $f$es una función continua.

De este modo,$f$obtiene en este compacto un valor mínimo y hemos terminado porque el caso$x_i=0$es trivial

Como varios otros han señalado, la primera desigualdad se puede probar usando la segunda. Aquí hay una prueba de la segunda desigualdad sin multiplicadores de Lagrange (en caso de que también estés interesado en eso):

Primero tome registros de ambos lados. Esto es posible porque todos$x_i$son positivos. Obtienes la expresión equivalente:

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \log x_i \leq \log\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i\right).$$

Por la desigualdad de Jensen, esa afirmación es verdadera porque$\log$es una función cóncava. Entonces se cumple la segunda desigualdad.