pregunta sobre la desigualdad AM-GM ab<(a^2+b^2)/2 [cerrado]

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Tengo una pregunta sobre la desigualdad AM-GM si a,b>0 entonces

Me pregunto si estas 2 desigualdades son verdaderas para todo a,b>0, si no, ¿cuál es la correcta?

Bienvenido a MSE. Por favor, lea este texto sobre cómo hacer una buena pregunta .

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Amrit Awasthi · Answer 1

Nótese que por desigualdad AM-GM, si $c,d>0$ entonces ;

\sqrt{C d} \leq \frac{C + d}{2}

$\sqrt{cd}\leq \frac{c+d}{2}$ Sustituto

c = a^{2}; d = b^{2}

$c = a^2 ; d = b^2$ para

a, b > 0

$a,b>0$ Llegar

a b \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}

$ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$

⟹ 2 a b \leq a^{2} + b^{2}

$\implies 2ab\leq a^2+b^2$

⟹ 4 a b \leq a^{2} + b^{2} + 2 a b = (a + b)^{2}

$\implies 4ab \leq a^2+b^2+2ab = (a+b)^2$

⟹ a b \leq \frac{(a + b)^{2}}{4}

$\implies ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$ Por lo tanto, la primera desigualdad es verdadera.
Ahora observe la segunda ecuación que es

a b \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}

$ab\leq \frac{a^2+b^2}{2}$ Pero

\frac{a^{2} + b^{2}}{2} < a^{2} + b^{2}

$\frac{a^2+b^2}{2}<a^2+b^2$ esto implica

a b < a^{2} + b^{2}

$ab< a^2+b^2$ Por lo tanto, la segunda desigualdad en su pregunta también es verdadera pero sin el signo de igualdad.

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@Snaw Me disculpo por este comportamiento. Definitivamente lo tendré en cuenta la próxima vez antes de publicar cualquier respuesta.
@Snaw Lo siento mucho por no leer claramente el anuncio. Seré cuidadoso.
@AmritAwasthi Gracias por tu respuesta. Sé dónde me confundí. ¡Gracias!