Duda en solución de APMO 1998 Problema de desigualdad

Pregunta -

Dejar$a, b, c$ser números reales positivos. Pruebalo

$$\begin{array}{c} \left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right) \geq 2+\frac{2(x+y+z)}{\sqrt[3]{x y z}} \\ (\text { APMO } 1998) \end{array}$$

mi duda-

en pham kim hung secrets demostraron así -

Solución. Ciertamente, el problema sigue la desigualdad

$$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{x y z}}$$ lo cual es cierto por AM-GM porque $$3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)=\left(\frac{2 x}{y}+\frac{y}{z}\right)+\left(\frac{2 y}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{2 z}{x}+\frac{x}{y}\right) \geq \frac{3 x}{\sqrt[3]{x y z}}+\frac{3 y}{\sqrt[3]{x y z}}+\frac{3 z}{\sqrt[3]{x y z}}$$

ahora no entendi como llegaron a esto $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \geq \frac{x+y+z}{\sqrt[3]{x y z}}$en principio no en final???

cuando amplío LHS obtengo un total de 6 términos recíprocos y 2 cancelados de ambos lados, pero no entendí cómo cancelan otros 2 en RHS y los 3 términos restantes en LHS.......

gracias