¿Cómo comparar los logaritmos log45log4⁡5\log_4 5 y log56log5⁡6\log_5 6?

Question

¿Cómo comparar los logaritmos log45log4⁡5\log_4 5 y log56log5⁡6\log_5 6?

cálculo
desigualdad
logaritmos
Matemáticas
álgebra-precálculo
am-gm-desigualdad

ayuda78

necesito comparar $\log_4 5$ y $\log_5 6$ . Puedo estimar ambos números como $1.16$ y $1.11$ . Luego tomé la fracción más pequeña $\frac{8}{7}$ que es mayor que $1.11$ y más pequeño que $1.16$ y probar dos desigualdades:

{registro}_{4} 5 > \frac{8}{7}

$\log_4 5 > \frac{8}{7}$

\frac{7}{8} {registro}_{4} 5 > 1

$\frac{7}{8}\log_4 5 > 1$

{registro}_{4^{8}} 5^{7} > 1

$\log_{4^8} 5^7 > 1$

{registro}_{65536} 78125 > 1

$\log_{65536} 78125 > 1$ y

{registro}_{5} 6 < \frac{8}{7}

$\log_5 6 < \frac{8}{7}$

\frac{7}{8} {registro}_{5} 6 < 1

$\frac{7}{8}\log_5 6 < 1$

{registro}_{5^{8}} 6^{7} < 1

$\log_{5^8} 6^7 < 1$

{registro}_{390625} 279936 < 1

$\log_{390625} 279936 < 1$ por eso tengo

\log_{5} 6 < \frac{8}{7} < \log_{4} 5

$\log_5 6 < \frac{8}{7} < \log_4 5$ .

Pero para probar necesito estimar ambos logaritmos (sin esta estimación no puedo encontrar la fracción para comparar). ¿Me pueden ayudar a encontrar una solución más clara (sin gráficos)?

Mateo Leingang

¿Qué pasaría si los expresaras en términos de un logaritmo con la misma base?

ayuda78

@MatthewLeingang ¿Qué base debo elegir? Traté de tomar la base 5 y tener

\log_{5} 4 \cdot \log_{5} 6

$\log_5 4 \cdot \log_5 6$ comparar con 1.

Respuestas (5)

¿Cómo comparar los logaritmos log45log4⁡5\log_4 5 y log56log5⁡6\log_5 6?

¿Qué pasaría si los expresaras en términos de un logaritmo con la misma base?
@MatthewLeingang ¿Qué base debo elegir? Traté de tomar la base 5 y tener $\log_5 4 \cdot \log_5 6$ comparar con 1.

no usuario · Answer 1

Usa la desigualdad Am-Gm y el hecho de que $\log x$ esta incrementando:

registro 6 \cdot registro 4 < \frac{(registro 6 + registro 4)^{2}}{4} = \frac{{registro}^{2} 24}{4} < \frac{{registro}^{2} 25}{4} = {registro}^{2} 5

$\log 6\cdot \log 4< {(\log 6+\log 4)^2\over 4} ={\log^2 24\over 4} < {\log ^225\over 4 }= \log ^25$

Entonces

{registro}_{5} 6 = \frac{registro 6}{registro 5} < \frac{registro 5}{registro 4} = {registro}_{4} 5

$\log_56={\log 6\over \log 5}<{\log 5\over \log 4}=\log _45$

Zubin Mukerjee · Answer 2

F (X) = {registro}_{X} (X + 1)

$f(x) = \log_x(x+1)$ es una función estrictamente decreciente para

x > 1

$x>1$ .

Puedes ver esto encontrando $f'(x)$ y notando que $f'(x)<0$ para todos $x>1$ .

Calum Gilhooley · Answer 3

Lema si $v \geqslant u \geqslant x > 1$ y $y/x > v/u$ , entonces $\log_x{y} > \log_u{v}$ .

Prueba Let $\alpha = \log_x{y}$ , y $\beta = \log_u{v} \geqslant 1$ . Entonces $x^{\alpha-1} = y/x > v/u = u^{\beta-1} \geqslant x^{\beta-1}$ , por lo tanto $\alpha > \beta$ . $\square$

Tenemos $5/4 > 6/5$ , por lo que el lema da $\log_4{5} > \log_5{6}$ . $\square$

La solución de @ aid78 (+1) explica esto mejor que yo. Solo tuve un vago presentimiento de que algo como este "lema" debe ser cierto, pero [s] ha demostrado la intuición detrás de esto: $\log_x{y} = \log_x(x(y/x)) = 1 + \log_x(y/x) > 1 + \log_x(v/u) \geqslant 1 + \log_u(v/u) = \log_u(u(v/u)) = \log_u(v)$ . ¡Eso es mucho mejor!

ayuda78 · Answer 4

He encontrado una solución más

{registro}_{4} 5 > {registro}_{5} 6

$\log_4 5 > \log_5 6$

{registro}_{4} (4 + 1) > {registro}_{5} (5 + 1)

$\log_4 (4+1) > \log_5 (5+1)$

{registro}_{4} 4 \cdot (1 + 0.25) > {registro}_{5} 5 \cdot (1 + 0.2)

$\log_4 4\cdot(1+0.25) > \log_5 5\cdot(1+0.2)$

1 + {registro}_{4} (1 + 0.25) > 1 + {registro}_{5} (1 + 0.2)

$1+\log_4 (1+0.25) > 1+ \log_5 (1+0.2)$

{registro}_{4} (1 + 0.25) > {registro}_{5} (1 + 0.2)

$\log_4 (1+0.25) > \log_5 (1+0.2)$

{registro}_{4} (1 + 0.25) > \frac{{registro}_{4} (1 + 0.2)}{{registro}_{4} 5}

$\log_4 (1+0.25) > \frac{\log_4 (1+0.2)}{\log_4 5}$

{registro}_{4} (1 + 0.25) > {registro}_{4} (1 + 0.2) > \frac{{registro}_{4} (1 + 0.2)}{{registro}_{4} 5}

$\log_4 (1+0.25) > \log_4 (1+0.2) > \frac{\log_4 (1+0.2)}{\log_4 5}$ QED

usuario65203 · Answer 5

\frac{5}{4} > \frac{6}{5} \land 4 < 5 ⟹ \frac{registro \frac{5}{4}}{registro 4} > \frac{registro \frac{6}{5}}{registro 5} ⟹ \frac{registro 5}{registro 4} > \frac{registro 6}{registro 5} .

$\frac54>\frac65\land 4<5\implies\frac{\log\dfrac54}{\log 4}>\frac{\log\dfrac65}{\log 5}\implies\frac{\log5}{\log 4}>\frac{\log6}{\log 5}.$

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Mateo Leingang

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usuario65203

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