Razón intuitiva para una aproximación a x!x!x!

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Razón intuitiva para una aproximación a x!x!x!

cálculo
factorial
asintóticos
Matemáticas
aproximación

scott cookson

Estaba trabajando hoy en aproximar $x!$ utilizando la integral de $\ln x$ , y usando software de computadora para calcular límites, encontré que $\dfrac{(12x)(\sqrt{2\pi x})(x^x)}{(12x-1)e^x}$ da una aproximación muy cercana de $x!$ . Multiplicando la cifra por $\dfrac{288x^2}{288x^2+1}$ parece hacer que la aproximación sea aún más cercana, y obviamente hay más términos que uno podría agregar también. Lo que tengo curiosidad es el papel de la $\sqrt{2\pi x}$ término; Sabía que habría un término de error (con suerte asintótico) en el producto, pero $\sqrt{2\pi}$ Nunca se me había pasado por la cabeza como posibilidad. ¿Hay alguna razón intuitiva para que este término aparezca aquí?

pablo garrett

¡Parece que estás redescubriendo las asintóticas de Stirling-Laplace! ¡Buen trabajo! Sí, no es obvio que aparecerían varias constantes de artefactos "tontas", pero sí, lo hacen. :) ¡Buen material! Más tarde... :)

serpiente

¿Podría dar más detalles sobre los pasos que tomó para descubrir esto?

scott cookson

@Snaw Ya no tengo el papel que usé, pero recuerdo algo como

(x + 1) \ln (x + 1) - (x + 1) - x \ln x + x

$(x+1)\ln(x+1) - (x+1) - x\ln x + x$ =

\ln (x + 1) + x \ln (1 + \frac{1}{x}) - 1

$\ln(x+1) + x\ln(1+\frac{1}{x}) - 1$ , dónde

\ln (x + 1)

$\ln(x+1)$ es el aumento “deseado”. Utilizando una aproximación aproximada de

x \ln (1 + \frac{1}{x}) - 1 = x (\ln (x + 1) - \ln x) - 1

$x\ln(1+\frac{1}{x}) - 1 = x(\ln(x+1)-\ln x)-1$ como

x (\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1}}{2}) - 1 = \frac{1}{2 (x + 1)}

$x(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}}{2})-1 = \frac{1}{2(x+1)}$ , obtuve la mitad de la serie armónica, que es asintótica a la mitad de

\ln (x + 1)

$\ln(x+1)$ , dando

\sqrt{x}

$\sqrt x$ en el resultado final. Como esta es una aproximación, sabía que habría algún error, y aquí es donde la computadora dio

\sqrt{2 π}

$\sqrt{2\pi}$ .

serpiente

¡Gracias! Lindas cosas.

Respuestas (2)

Razón intuitiva para una aproximación a x!x!x!

¡Parece que estás redescubriendo las asintóticas de Stirling-Laplace! ¡Buen trabajo! Sí, no es obvio que aparecerían varias constantes de artefactos "tontas", pero sí, lo hacen. :) ¡Buen material! Más tarde... :)
¿Podría dar más detalles sobre los pasos que tomó para descubrir esto?
@Snaw Ya no tengo el papel que usé, pero recuerdo algo como $(x+1)\ln(x+1) - (x+1) - x\ln x + x$ = $\ln(x+1) + x\ln(1+\frac{1}{x}) - 1$ , dónde $\ln(x+1)$ es el aumento “deseado”. Utilizando una aproximación aproximada de $x\ln(1+\frac{1}{x}) - 1 = x(\ln(x+1)-\ln x)-1$ como $x(\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}}{2})-1 = \frac{1}{2(x+1)}$ , obtuve la mitad de la serie armónica, que es asintótica a la mitad de $\ln(x+1)$ , dando $\sqrt x$ en el resultado final. Como esta es una aproximación, sabía que habría algún error, y aquí es donde la computadora dio $\sqrt{2\pi}$ .

Gerente de Jacob · Answer 1

Esta es la bien estudiada fórmula de Stirling , que comúnmente se escribe

\begin{matrix} (1) & norte! \sim \sqrt{2 π norte} {(\frac{norte}{mi})}^{norte} (1 + \frac{1}{12 norte} + \frac{1}{288 {norte}^{2}} + \dots) \end{matrix}

$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\left(1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}+\dots\right)\tag{1}$ El término general aquí no tiene una fórmula agradable (en particular, no coincide

e^{- \frac{1}{12 n}}

$e^{-\frac{1}{12n}}$ ). Por otro lado, Carmeister en los comentarios a continuación señala que hay un buen algoritmo recursivo: consulte la ecuación 5.11.6 en el Manual de funciones matemáticas del NIST .

Es importante destacar que (1) es un esquema para producir una secuencia de aproximaciones asintóticas, no una serie infinita para $n!$ ; si tuviera que incluir todos los términos en " $\dots$ ", su suma divergiría. En su lugar, corte (1) en el $k$ ^th término; para lo suficientemente grande $n$ , la fórmula resultante tiene un error proporcional al siguiente término. Pero el $n$ en el que este "arranque" aumenta a medida que aumenta $k$ .

Wikipedia da una breve derivación; esencialmente la razón $\sqrt{2\pi n}$ aparece es que la fórmula se aproxima

norte! = \int_{0}^{\infty} {mi}^{norte (en (t) - t)} d t

$n!=\int_0^{\infty}{e^{n(\ln{\!(t)}-t)}\,dt}$ como

norte! \sim \int_{- \infty}^{\infty} {mi}^{- (a_{norte} X + b_{norte})^{2}} d t

$n!\sim\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-(a_nx+b_n)^2}\,dt}$ para algunos bien elegidos

a_{n}

$a_n$ y

b_{n}

$b_n$ . la integral de

e^{- x^{2}}

$e^{-x^2}$ implica

\sqrt{2 π}

$\sqrt{2\pi}$ , en parte porque esa integral se puede calcular usando áreas 2D.

Si tuviera que incluir todos los términos en "...", su suma divergiría . Estoy confundido; ¿No es esa suma la serie de potencias para $e^{1 \over 12n}$ , que converge para todo distinto de cero $n$ ? ¿O he entendido mal lo que dices?
@psmears No es la serie de poder para $\exp(1/12n)$ , simplemente sucede que los primeros tres términos concuerdan con él. El siguiente término es $-\frac{139}{51840n^3}$ , más información se da en esta página
@psmears: Es por eso que presentar tales expansiones asintóticas sin especificar claramente las condiciones limitantes es lo peor. Puedes tomar la primera $k$ términos en esa expansión, por lo que tienes dos parámetros $k$ y $n$ . para fijo $k$ la aproximación es asintóticamente correcta como $n→∞$ . si arreglas $n$ en cambio, no obtienes nada significativo en absoluto porque tomar $k→∞$ produce basura.
Ah, está bien, ¡gracias amigos! Valdría la pena agregar un poco más de detalle a la respuesta, en parte debido a la ambigüedad de la expansión, pero principalmente porque el artículo de Wikipedia vinculado no está claro (por ejemplo, ¡hay varias expresiones diferentes que llama "Fórmula de Stirling"!)

Claudio Leibovici · Answer 2

Teniendo en cuenta la proporción

R = \frac{12 X \sqrt{2 π X} X^{X}}{(12 X - 1) {mi}^{X} X!}

$R=\frac{12x\,\sqrt{2\pi x}\,x^x}{(12x-1)\,e^x\, x!}$ y el uso de series para valores grandes de

x

$x$ , tenemos

R = 1 + \frac{1}{288 X^{2}} + \frac{77}{25920 X^{3}} + + O (\frac{1}{X^{4}})

$R=1+\frac{1}{288 x^\color{red}{2}}+\frac{77}{25920 x^3}++O\left(\frac{1}{x^4}\right)$ mientras

\frac{288 X^{2}}{288 X^{2} + 1} = 1 - \frac{1}{288 X^{2}} + \frac{1}{82944 X^{4}} + O (\frac{1}{X^{6}})

$\frac{288x^2}{288x^2+1}=1-\frac{1}{288 x^2}+\frac{1}{82944 x^4}+O\left(\frac{1}{x^6}\right)$ como observaste

\frac{288 X^{2}}{288 X^{2} + 1} R = 1 + \frac{77}{25920 X^{3}} + O (\frac{1}{X^{4}})

$\frac{288 x^2}{288 x^2+1}\,R=1+\frac{77}{25920 x^\color{red}{3}}+O\left(\frac{1}{x^4}\right)$ es mucho mejor.

Tratando de mejorarlo, consideré

\frac{a_{0} + a_{1} X + a_{2} X^{2}}{b_{0} + b_{1} X + b_{2} X^{2}} R

$\frac {a_0+a_1x+a_2x^2} {b_0+b_1x+b_2x^2}\,R$ que se amplió para valores grandes de

x

$x$ .

Esto lleva a

\frac{129600 X^{2} - 110880 X + 94189}{129600 X^{2} - 110880 X + 94639} R = 1 + \frac{4000387}{2939328000 X^{5}} + O (\frac{1}{X^{6}})

$\frac{129600 x^2-110880 x+94189}{129600 x^2-110880 x+94639}\,R=1+\frac{4000387}{2939328000 x^\color{red}{5}}+O\left(\frac{1}{x^6}\right)$

Es increíble ver cómo un cambio "menor" puede mejorar. Darse cuenta de

\frac{129600 X^{2} - 110880 X + 94189}{129600 X^{2} - 110880 X + 94639} - \frac{288 X^{2}}{288 X^{2} + 1} = - \frac{77}{25920 X^{3}} + O (\frac{1}{X^{4}})

$\frac{129600 x^2-110880 x+94189}{129600 x^2-110880 x+94639}-\frac{288x^2}{288x^2+1}=-\frac{77}{25920 x^3}+O\left(\frac{1}{x^4}\right)$

@martycohen. Si por su puesto. Esta es una forma de "mejorar" las aproximaciones de factoriales (Sirling, Ramanujan, ..) con menos términos. Salud :-)

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