Problema de clase de calculo [resuelto]

Me preguntaba cómo determinar si esta serie converge:

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{(k+1)!}{k^k} \; ?$$

Así es como comencé a abordar este problema:

$$\begin{aligned} \lim_{k \to \infty}{\left|\frac{\cfrac{(k+2)!}{(k+1)^{k+1}}}{\cfrac{(k+1)!}{k^k}}\right|} &= \frac{(k+2)!}{(k+1)^{k+1}} \times \frac{k^k}{(k+1)!} \\[0.6em] &= \frac{k^k(k+2)!}{(k+1)^{k+1}(k+1)!} \\[0.6em] &= \frac{k^k(k+2)(k+1)!}{(k+1)^{k+1}(k+1)!} \\[0.6em] &= \frac{k^k(k+2)}{(k+1)^{k+1}} \\[0.6em] &= \frac{k^k(k+2)}{(k+1)^k(k+1)} \\[0.6em] &= \frac{k^k(k+2)}{(k+1)^k(k+1)} \\[0.6em] \end{aligned}$$

¡Cualquier consejo es muy apreciado!