Demostrar una desigualdad sobre el producto de integrales

$$\langle f, g \rangle = \int_{-1}^1 f(x) g(x) \frac{\exp(a + bx)}{(1 + \exp(a + bx))^2}dx$$ es un producto interno en el espacio$C([-1, 1])$de funciones continuas en el intervalo$[-1, 1]$, por lo que se puede aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz : $$|\langle f, g \rangle |^2 \le \langle f, f \rangle \cdot \langle g, g \rangle \, .$$ Elegir$f(x) =1$y$g(x) = x$da la desigualdad buscada. La desigualdad estricta se cumple porque las funciones no son múltiplos constantes entre sí.

O, por supuesto, también se puede aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz "habitual"

$$\left(\int_a^b F(x) G(x) dx \right)^2 \le \int_a^b F(x)^2 dx \cdot \int_a^b G(x)^2 dx$$ a $$F(x) =\frac{\sqrt{\exp(a + bx)}}{1 + \exp(a + bx)} \, , \, G(x) =x \cdot \frac{\sqrt{\exp(a + bx)}}{1 + \exp(a + bx)} \, .$$

Si$u$es una función tal que$u'(x) =\frac {a+bx}{(1+exp(a+bx))^2}$, y$l = u^{-1}(-1), r = u^{-1}(1)$, entonces tu desigualdad se convierte en$\left(\int_l^rdu\right)\left(\int_l^rx^2du\right)>\left(\int_l^rxdu\right)^2$.

Así que si puedes demostrar eso$u$y$u^{-1}$existe, se puede aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz.