Derivar la ecuación de Schrödinger de Klein-Gordon QFT con la definición ψ(x,t)≡⟨0|ϕ0(x,t)|ψ⟩ψ(x,t)≡⟨0|ϕ0(x,t)|ψ⟩\ psi(\textbf{x},t)\equiv\langle 0|\phi_0(\textbf{x},t)|\psi\rangle

Question

Derivar la ecuación de Schrödinger de Klein-Gordon QFT con la definición ψ(x,t)≡⟨0|ϕ0(x,t)|ψ⟩ψ(x,t)≡⟨0|ϕ0(x,t)|ψ⟩\ psi(\textbf{x},t)\equiv\langle 0|\phi_0(\textbf{x},t)|\psi\rangle

Física
Transformada de Fourier
teoría cuántica de campos
ecuación de klein-gordon
ecuación de Schroedinger
deberes-y-ejercicios

SRS

En el libro "Teoría del campo cuántico y el modelo estándar" de Matthew Schwartz, página 23-24 , la función de onda del espacio de posición se define como

\begin{matrix} (2.82+2.83) & ψ (X) = ⟨ 0 | ϕ (X) | ψ ⟩, \end{matrix}

$\psi(x)=\langle 0|\phi(x)|\psi\rangle, \tag{2.82+2.83}$

dónde $|\psi\rangle$ es cualquier estado en el espacio de Fock. Luego usa las ecuaciones (i) $\partial_t^2\phi_0=(\nabla^2-m^2)\phi_0$ (es decir, la ecuación de Klein-Gordon para el campo escalar masivo libre $\phi_0(\textbf{x},t)$ ) y (ii) $[H,\phi_0]=-i\partial_t\phi_0$ para derivar la Ec. 2.85, en los siguientes 3 pasos:

\begin{matrix} (2.85) & i ⟨ 0 | \partial_{t} ϕ_{0} (X, t) | ψ ⟩ = ⟨ 0 | \int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} \frac{\sqrt{{pag}^{2} + {metro}^{2}}}{\sqrt{2 ω_{pag}}} (a_{pag} {mi}^{- i pag \cdot X} - a_{pag}^{†} {mi}^{i pag \cdot X}) | ψ ⟩ = ⟨ 0 | \sqrt{{metro}^{2} - \nabla^{2}} ϕ_{0} (X, t) | ψ ⟩ . \end{matrix}

$i\langle 0|\partial_t\phi_0(\textbf{x},t)|\psi\rangle=\langle 0|\int \frac{d^3\textbf{p}}{(2\pi)^3}\frac{\sqrt{\textbf{p}^2+m^2}}{\sqrt{2\omega_\textbf{p}}}(a_p e^{-ip\cdot x}-a^\dagger_p e^{ip\cdot x})|\psi\rangle\\ =\langle 0|\sqrt{m^2-\nabla^2}\phi_0(\textbf{x},t)|\psi\rangle.\tag{2.85}$

Esta ecuación se utiliza para derivar con éxito la ecuación de Schrödinger en mecánica cuántica para el estado $\psi(\textbf{x},t)\equiv \langle 0|\phi_0(\textbf{x},t)|\psi\rangle$ .

La primera igualdad se sigue de la diferenciación de $\phi_0(x)$ bien $t$ . ¿Cómo se sigue la segunda igualdad de la primera? ¿Cómo se utilizan las entradas (i) y (ii) para derivar la segunda igualdad de la primera?
¿Es cierto que el operador
$i \partial_{t} \sim \sqrt{{metro}^{2} - \nabla^{2}} ?$ $i\partial_t\sim\sqrt{m^2-\nabla^2}~?$ En caso afirmativo, ¿de qué sirve hacer el paso intermedio?

qmecanico

Para una conexión entre Schr. ec. y Klein-Gordon eq, véase, por ejemplo, A. Zee, QFT in a Nutshell, cap. III.5, y esta publicación de Phys.SE más los enlaces incluidos.

SRS

@Qmechanic Estoy específicamente interesado en comprender los pasos del libro de Schwartz. En particular, ¿cómo obtuvo la segunda igualdad de la primera y en qué paso usó

[H, ϕ_{0}] = - i \partial_{t} ϕ_{0}

$[H,\phi_0]=-i\partial_t\phi_0$ ? Y también lo que pasó con la integral sobre

d^{3} p

$d^3\textbf{p}$ ?

Cosmas Zachos

Utilizó (ii) para derivar/confirmar (i), utilizado en el primer paso. Luego realizó la integral del momento para derivar la transformada de Fourier, el segundo paso.

Dwagg

@CosmasZachos ¿Es obvio este impulso integral? Debido a que la RHS (2.85) tiene un signo menos que no está presente en la definición de

ϕ_{0} (x, t)

$\phi_0(\mathbf{x},t)$ .

Dwagg

@CosmasZachos Estoy de acuerdo, pero no veo cómo funciona la integral de impulso. Estoy de acuerdo

\int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \frac{\sqrt{p^{2} + m^{2}}}{\sqrt{2 ω_{p}}} a_{p} e^{- i p x} = \sqrt{m^{2} - \nabla^{2}} \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 ω_{p}}} a_{p} e^{- i p x}

$\int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{\sqrt{p^2+m^2}}{\sqrt{2\omega_p}} a_p e^{-ipx} = \sqrt{m^2-\nabla^2} \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}} a_p e^{-ipx}$ . Pero el segundo término tiene un signo menos y un

e^{+ i p x}

$e^{+ipx}$ en lugar de

e^{- i p x}

$e^{-ipx}$ , que es el FT ¿Se cancelan estas diferencias de signos para darnos

ϕ_{0} (x, t)

$\phi_0(x,t)$ usando alguna propiedad de FT?

Dwagg

@CosmasZachos El error de esta pregunta en comparación con Schwartz es un factor extra de

i

$i$ en el lado derecho de (2.85). En cuyo caso no veo cómo el RHS de (2.85) es real; conjugación compleja da un factor de

- 1

$-1$ . Y además, no veo cómo (2.81) y (2.85) ambos siendo reales responden mi pregunta. (¡Lo siento!)

Cosmas Zachos

Corregí el error. No hay segundo término. Cf. La respuesta de @Valter Moretti, que elimina al intermediario.

Quillo

Respuesta relacionada physics.stackexchange.com/a/734239/226902

Respuestas (3)

Derivar la ecuación de Schrödinger de Klein-Gordon QFT con la definición ψ(x,t)≡⟨0|ϕ0(x,t)|ψ⟩ψ(x,t)≡⟨0|ϕ0(x,t)|ψ⟩\ psi(\textbf{x},t)\equiv\langle 0|\phi_0(\textbf{x},t)|\psi\rangle

Para una conexión entre Schr. ec. y Klein-Gordon eq, véase, por ejemplo, A. Zee, QFT in a Nutshell, cap. III.5, y esta publicación de Phys.SE más los enlaces incluidos.
@Qmechanic Estoy específicamente interesado en comprender los pasos del libro de Schwartz. En particular, ¿cómo obtuvo la segunda igualdad de la primera y en qué paso usó $[H,\phi_0]=-i\partial_t\phi_0$ ? Y también lo que pasó con la integral sobre $d^3\textbf{p}$ ?
Utilizó (ii) para derivar/confirmar (i), utilizado en el primer paso. Luego realizó la integral del momento para derivar la transformada de Fourier, el segundo paso.
@CosmasZachos ¿Es obvio este impulso integral? Debido a que la RHS (2.85) tiene un signo menos que no está presente en la definición de $\phi_0(\mathbf{x},t)$ .
@CosmasZachos Estoy de acuerdo, pero no veo cómo funciona la integral de impulso. Estoy de acuerdo $\int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{\sqrt{p^2+m^2}}{\sqrt{2\omega_p}} a_p e^{-ipx} = \sqrt{m^2-\nabla^2} \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}} a_p e^{-ipx}$ . Pero el segundo término tiene un signo menos y un $e^{+ipx}$ en lugar de $e^{-ipx}$ , que es el FT ¿Se cancelan estas diferencias de signos para darnos $\phi_0(x,t)$ usando alguna propiedad de FT?
@CosmasZachos El error de esta pregunta en comparación con Schwartz es un factor extra de $i$ en el lado derecho de (2.85). En cuyo caso no veo cómo el RHS de (2.85) es real; conjugación compleja da un factor de $-1$ . Y además, no veo cómo (2.81) y (2.85) ambos siendo reales responden mi pregunta. (¡Lo siento!)
Corregí el error. No hay segundo término. Cf. La respuesta de @Valter Moretti, que elimina al intermediario.
Respuesta relacionada physics.stackexchange.com/a/734239/226902

Valter Moretti · Answer 1

(como comentario personal: no sé por qué uno debe lidiar con cosas complicadas como la aproximación de operadores y demás cuando la física es evidente...)

El único requisito es que

el contenido energético del estado debe tener valores muy pequeños con respecto a la masa de la partícula.

En la práctica, el apoyo de la ${\bf k}$ -Transformada de Fourier de $\psi({\bf x}, t)$ debe estar lo suficientemente concentrado en un conjunto donde $|{\bf p}|<< m$ . En esta situación, podemos aproximarnos con seguridad $p^0 \simeq \frac{{\bf p}^2}{2m} + m$ (Asumo $c= \hbar=1$ ). En esta situación

ψ (X, t) = ⟨ 0 | ϕ_{0} (X, t) | ψ ⟩ ≃ \frac{{mi}^{- i metro t}}{(2 π)^{3 / 2}} \int d^{3} pag {mi}^{i (pag \cdot X - \frac{{pag}^{2}}{2 metro} t)} \frac{\hat{ψ} (pag)}{2 metro}

$\psi({\bf x},t) = \langle 0|\phi_0({\bf x},t)|\psi\rangle \simeq \frac{e^{-imt}}{(2\pi)^{3/2}}\int d^3{\bf p} \: e^{i\left({\bf p}\cdot {\bf x} -\frac{{\bf p}^2}{2m}t\right)}\:\frac{\hat{\psi}({\bf p})}{2m}$ Hasta el factor

e^{- i m t}

$e^{-imt}$ que es una fase (incluso si depende del tiempo) y se puede omitir (en realidad es responsable de la regla de masa de superselección de Bargamann), la función obtenida evidentemente satisface la ecuación libre estándar de Schroedinger .

Esta aproximación claramente no es válida para partículas sin masa y esto explica por qué los fotones no resuelven (aproximadamente) la ecuación de Schroedinger...

Buena respuesta. Pero, creo que valdría la pena añadir que $|\psi \rangle =\int \frac{d^3p}{(2 \pi )^3}\psi({\bf p})a_p{}^{\dagger }|0\rangle$ .

una mente curiosa · Answer 2

El paso se sigue simplemente por la relación habitual de que la transformada de Fourier de $p\cdot \phi(p)$ es $\partial_x \tilde{\phi}(x)$ , es decir, la multiplicación por la variable se convierte en diferenciación.
No existe una relación general entre $\partial_t$ y $\sqrt{m^2-\nabla^2}$ , ya que en general ni siquiera está definido qué $m$ es. Los operadores tienen que actuar sobre alguna función dada específica para tener alguna relación.

¿En qué paso usó la información (i) y (ii)? @ACuriousMind

Bob Knighton · Answer 3

Si puede aceptar que el primer paso proviene de la diferenciación con respecto al tiempo, entonces el segundo paso es simplemente notar que el operador $\sqrt{m^2-\boldsymbol{\nabla}^2}$ actúa como $\sqrt{m^2+\textbf{p}^2}$ en el espacio de momento. Esto es solo una generalización del hecho de que el operador $\boldsymbol{\nabla}$ simplemente actúa como $i\textbf{p}$ en el espacio de momento. Dan el mismo resultado. Entonces, no, no hay una relación general entre $\partial_t$ y $\sqrt{m^2-\boldsymbol{\nabla^2}},$ ya que son operadores diferenciales independientes. El resultado es solo una propiedad de la transformada de Fourier. El resultado final es que,

i \partial_{t} ψ (X) = \sqrt{{metro}^{2} - \nabla^{2}} ψ (X)

$i\partial_t\psi(x)=\sqrt{m^2-\boldsymbol{\nabla}^2}\,\psi(x)$

de su definición de la función de onda del espacio de posición.

¡Espero que esto ayude! Además, espero que sigas leyendo Schwartz. Es un libro fantástico.

Su respuesta no especifica en qué paso utilizó (ii) $[H,\phi_0]=-i\partial_t\phi_0$ . Además, ¿por qué la integral sobre $d^3\textbf{p}/(2\pi)^3$ ¿irse? @BobKnighton
La integración sobre el momento desapareció sacando la derivada espacial y notando que lo que queda es la definición de la transformada de Fourier del campo. Además, no veo la necesidad del conmutador si el primer paso ya está completo.
@BobKnighton Acepto que el operador $\sqrt{m^2 - \nabla^2}$ actúa como $\sqrt{m^2 + \vec p^2}$ en el espacio de impulso, pero la cosa sobre la que actúa no es el operador de campo cuántico, ¿verdad? ¿Por el signo menos en (2.85)?

Derivar la ecuación de Schrödinger de Klein-Gordon QFT con la definición ψ(x,t)≡⟨0|ϕ0(x,t)|ψ⟩ψ(x,t)≡⟨0|ϕ0(x,t)|ψ⟩\ psi(\textbf{x},t)\equiv\langle 0|\phi_0(\textbf{x},t)|\psi\rangle

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