Proporcionar la derivada de una función de un solo valor es como proporcionar su valor en dos puntos infinitesimalmente cercanos.
Mi pregunta consta de dos partes:
¿Puede pensarse que las derivadas superiores proporcionan el valor de la función en muchos puntos del espacio, todos ellos infinitesimalmente cercanos entre sí?
Por lo tanto, ¿proporcionar derivadas infinitas es como proporcionar el valor de la función en todos los puntos del espacio? ¿Es esto correcto?
En ese caso,
¿Alguien puede explicar esto con precisión?
Gracias de antemano.
Para funciones analíticas existe una cierta región (vecindario) en el espacio-tiempo alrededor de un punto dado en el que la función está dada por una expansión de Taylor convergente que involucra todas estas derivadas en el punto . Entonces, sí, el Lagrangiano involucraría el campo en otros puntos desde y no es local. Esto es problemático para muchos físicos, ya que los campos en un cierto punto del espacio-tiempo interactuarían con el mismo campo en otros puntos del espacio-tiempo. Sin embargo, la gente ha trabajado con lagrangianos no locales, por ejemplo, para teorías de campo efectivas en las que estos términos no locales podrían representar una teoría más profunda que aún es local.
Tenga en cuenta que incluso en 0+1D, las rutas integradas en la integral de ruta están lejos de ser analíticas. De hecho, casi todos ellos ni siquiera son diferenciables. Ver esta respuesta . Se necesita mucho cuidado para dar sentido a las derivadas de la mayoría de estos caminos. Una forma en que la gente trata de hacerlo es dejando que los caminos mismos tengan algún carácter distributivo. Busque la ecuación de Fokker-Planck y vea este artículo. Hasta ahora, los derivados estocásticos deben definirse caso por caso.
Una razón por la que no incluimos términos derivados arbitrariamente de alto orden en el Lagrangiano es que tienden a no ser renormalizables. Esto significa que en la UV, se viola la localidad (de una manera que hace que la teoría no admita ningún principio de acción), algo así como usted preguntó. Creo que esto probablemente esté relacionado con la dificultad de definir derivadas más altas de las distribuciones, pero no soy un experto.
Soy estudiante, no profesor, pero creo que es bastante correcto: siempre podemos expandir un campo alrededor de cualquiera de sus puntos (admitiendo las condiciones necesarias) si disponemos de infinitas derivadas de ese campo, por lo que la localidad de nuestra teoría implica que un lagrangiano puede depender solo de un número finito de derivadas del campo porque tiene que depender de la vecindad de un solo punto. Es decir que un Lagrangiano (¡así las ecuaciones de movimiento !) no puede depender de un punto arbitrariamente lejano
AccidentalFourierTransformar
Tushar Gopalka
Víctor Palea