Lagrangianos invariantes de Poincaré

I) OP escribió (v2):

Yo sé eso$\mathcal{L}$es un funcional no una función.

En realidad para teorías locales la densidad lagrangiana

$$\mathcal{L}(\phi(x), \partial\phi(x), \partial^2\phi(x), \ldots, ;x)$$ es una función de $\phi(x)$, $\partial\phi(x)$, $\partial^2\phi(x)$, $\ldots$, y $x$. En cambio, la acción $S[\phi]=\int \!d^dx~\mathcal{L}$es un funcional de $\phi$, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

II) OP escribió (v2):

La densidad lagrangiana de una teoría invariante de Poincaré no debería depender explícitamente de las coordenadas espacio-temporales. Esto significa

$$\tag{1} \partial_{\mu} \mathcal{L}~=~0~?$$

Si$\partial_\mu$en la notación de OP denota una diferenciación espacio-temporal explícita$\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}$, entonces la respuesta es Sí. Sin embargo, tenga en cuenta que también existe una dependencia implícita de las coordenadas espacio-temporales a través de los campos$\phi$. La derivada espacio-tiempo total se convierte en

$$d_{\mu}\mathcal{L}~=~\partial_{\mu} \mathcal{L} + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\partial_{\mu}\phi + \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\nu}\phi)} \partial_{\nu}\partial_{\mu}\phi + \ldots .$$

III) La invariancia traslacional (1) implica a través del teorema de Noether que el correspondiente 4-vector de energía-momento$P_{\mu}$se conserva

Podrías decirlo$\partial_{\mu}\mathcal{L}=0$sólo si los campos a los que se aplica se tratan como variables independientes y no como funciones de$x^\mu$. Es decir, el lagrangiano no se refiere explícitamente a las coordenadas, pero si tuviera que considerar los campos como$\phi = \phi(x^\mu)$, entonces obviamente$\partial_{\mu}\mathcal{L}\neq 0$.

La forma más rigurosa de decir esto es considerando una transformación que traduce toda la física relevante en el espacio-tiempo por$a^\mu$. El lagrangiano se transforma en$\mathcal{L}(x^\mu) \to \mathcal{L}_a(x^\mu)$- por ahora no asumimos ninguna forma de esta transformación. El requisito de derivada cero podría especificarse como

$$\mathcal{D}_a \mathcal{L} \equiv \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\mathcal{L}_{a \epsilon}(x^\mu + \epsilon a ^\mu)-\mathcal{L}(x^\mu)}{\epsilon} = 0$$ Es decir, si hace una traducción infinitesimal de toda la física y compara el resultado con el original sin traducir (debe comparar en el punto retrotraducido), obtiene el mismo resultado. Pero al requerir esto y asumiendo algunas matemáticas razonables, obtenemos que es equivalente a la condición $$\mathcal{L}_a (x^\mu) = \mathcal{L}(x^\mu-a^\mu)$$ Es decir, la traducción de la física y la retrotraducción de las coordenadas produce el mismo resultado, aunque no sea infinitesimal. La parte importante es obviamente "toda la física relevante" que se traduce con esto $a$-traducción. Esta es casi una declaración tautológica: el lagrangiano depende solo de "toda la física relevante" y su valor se transporta con ellos.

Esta última condición es un caso más especial de las mencionadas por Frederic Brünner y m1rohit.

La invariancia de Poincaré simplemente significa que el Lagrangiano no cambia bajo una transformación de Poincaré:

$$\mathcal{L}(x)\rightarrow\mathcal{L'}(x)=\mathcal{L}(\Lambda^{-1}x).$$

Tenga en cuenta que solo he escrito las transformaciones de Lorentz, por simplicidad. Ahora decimos que$\mathcal{L}$es invariante si

$$\mathcal{L}(x)=\mathcal{L}'(x).$$

Esto no significa que el Lagrangiano no dependa de las coordenadas del espacio-tiempo. Después de todo, se supone que los campos que contiene son funciones del espacio-tiempo. Simplemente nos dice algo sobre el comportamiento de transformación de la función. Se puede construir un lagrangiano invariante a partir de expresiones que se transforman como escalares, es decir$\phi(x)\rightarrow\phi(\Lambda^{-1}x).$