¿Por qué la derivada de orden infinito en densidad lagrangiana implica no local?

Hay una tarea en la teoría de campos. Dice que el orden negativo de la derivada (como$\frac{1}{\nabla^2}$), orden fraccionario de la derivada (como$\nabla^{2/3}$) y la derivada de orden infinito en general no puede ocurrir en una teoría de campo local.

Es fácil de probar:

$$\frac{1}{\nabla^2} \phi(x)= -\int d^3k \frac{1}{k^2} \tilde\phi(k) e^{ikx} \propto \int d^3y \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|}\phi(y)$$ Así que no es local.

Del mismo modo,

$$\nabla^{2/3} \phi(x)\propto \int d^3k k^{2/3}\tilde{\phi}(k )\propto \int d^3y \frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^{8/3}}\phi(y)$$ También no local.

Pero no puedo probar por qué la derivada de orden infinito implicará no local. Por ejemplo$e^{\nabla^2}\phi(x)$debe depender solo de las cantidades en el punto$x$. yo también trato de discutir

$$\sum_{n=0}^{\infty} (\nabla^2)^{n}=\frac{1}{1-\nabla^2}$$ Pero creo que no es cierto, ya que $$\sum_{n=0}^{\infty} (\nabla^2)^{n} \phi(x)=\int d^3k \sum_{n=0}^\infty k^{2n} \tilde{\phi}(k)$$ sólo cuando $k<1$, las cantidades anteriores pueden ser iguales a $\int d^3k \frac{1}{1-k^2} \tilde{\phi}(k)$.

Entonces, ¿toda la teoría derivada de orden infinito es no local o existe una teoría derivada infinita de orden infinito que no es local?

Dame un ejemplo concreto de teoría de derivadas de orden infinito que no sea local.