¿Por qué se trabaja con la densidad lagrangiana en la teoría de campos?

Recuerda que lo fundamental es la acción $S = \int dt L(q, \dot{q}, t)$. Siempre se debe pensar en el lagrangiano como un ingrediente para definir acciones.

La densidad lagrangiana es la forma más natural de describir un campo, es decir, algo que varía en el espacio. Una forma de motivar esto desde el formalismo lagrangiano original es pensar en el campo en una red :$\phi( a n_i \mathbf{e}_i, t) \sim \phi_{n}(t)$, dónde$a$es el espaciamiento de la red y$n\in\mathbb{Z}^3$, y usted debe tener en cuenta la$\phi_n$como variables dinámicas ordinarias. Si los campos se extienden a través de un cubo de 3x3 de lado$d$, entonces hay$N = (d/a)^3$variables El Lagrangiano es ahora una función suave$\mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$. Esto es un poco difícil de manejar, sin embargo, esperamos$L$para tomar una forma un tanto especial sobre la base de la simetría de traslación del universo:

$L(\{\phi_n(t), \dot{\phi}_n(t)\}) = \sum_n \left[\mathcal{L}_0(\phi_n, \dot{\phi}_n) + \mathcal{L}_1(\phi_n, \phi_{n+a\mathbf{e}_i}, \dot{\phi}_{n}, \dot{\phi_{n+a\mathbf{e}_i}}) + \ldots \right]$dónde$\mathcal{L}_1$depende de los vecinos más cercanos,$\mathcal{L}_2$depende de los segundos vecinos más cercanos y así sucesivamente. Crucialmente, ninguno de los$\mathcal{L}$dependen de dónde se evalúen; no hay$n$índice en ellos: solo les importa el valor del campo en ese punto. Una suposición básica de la teoría de campos es que los campos son locales : la energía de una configuración de campo dada debe depender solo de lo que ese campo esté haciendo en un punto.$\mathbf{x}$, es decir, la energía en un punto debe depender únicamente del valor de$\phi$y sus deformaciones.

Ahora observe que estas dependencias de los vecinos más cercanos se pueden considerar como derivados discretos:

$$a \mathbf{e}_i \cdot \nabla \phi_n = \phi_{n+a\mathbf{e}_i} - \phi_n$$ Se puede mostrar con un poco de trabajo que debe tener en cuenta.$n$th vecinos más cercanos para obtener el pleno$n$derivada de th orden. (Aparte: esto proporciona cierta intuición de por qué funcionan las series de Taylor: si conoce todas las derivadas [discretas] de una función analítica en un punto, puede determinar el valor de la función en cualquier punto y viceversa).

en el continuo$a \to 0$límite, esto debería manifestarse como$\mathcal{L}(\phi, \nabla \phi, \dot{\phi}, \nabla \nabla \phi, \nabla \nabla \dot{\phi},...)$. En principio, no hay razón a priori para truncar la serie, indicando dependencia de todas las derivadas de$\phi$. Asimismo, la suma se convierte en una integral:$\sum_n \mapsto \int d^3 \mathbf{x}$, y terminamos con

$$L(\phi \text{ at all points in space}) = \int d^3 \mathbf{x} \mathcal{L}(\phi(\mathbf(x)), \partial^\mu \phi(\mathbf{x}), \partial^\mu \partial^\nu \phi(\mathbf{x}), ...)$$

y, en última instancia, el objeto más amigable con la relatividad

$$S[\phi] = \int d^4\mathbf{x} \mathcal{L}(\phi(\mathbf(x)), \partial^\mu \phi(\mathbf{x}), \partial^\mu \partial^\nu \phi(\mathbf{x}), ...)$$

En la práctica, los lagrangianos en física de partículas no dependen de derivadas de mayor orden que$\dot{\phi}, \nabla \phi$, por varias razones teóricas. Sin embargo, ¡algunos lagrangianos clásicos en materia condensada sí!

En resumen, la densidad lagrangiana se utiliza para formalizar la noción de que la energía depende únicamente de los campos, es decir, que las leyes de la física son las mismas en todas partes.

Supongo que la pregunta es por qué en la teoría de campos se prefiere la densidad de Lagrange frente a la función de Lagrange utilizada en la mecánica clásica.

Así que si es el caso, la razón es simple. La acción como integral sobre el Lagrangiano tiene que ser invariante de Lorentz, usando la densidad de Lagrange esto se puede lograr, mientras que con la función de Lagrange de la mecánica clásica no se puede lograr.

El objetivo es conseguir que la integral del Lagrangiano (que define la acción) sea invariante de Lorentz:

$$S=\int dt\, d^3x\, \mathcal{L}.$$ Los 4 volúmenes$dt\,d^3 x$es invariante de Lorentz (pero un simple$dt$no es invariante de Lorentz), y si$\mathcal{L}$es (y puede ser fácilmente) construido como escalar construido a partir de campos, toda la integral y por lo tanto la acción son invariantes de Lorentz.

Los 4 volúmenes$dt\,d^{3}x$se puede escribir en forma covariante de Lorentz usando el tensor de Levi-Civita totalmente antisimétrico$\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}$:

$$dt\,d^{3}x = \frac{1}{4!}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\,dx^{\mu}\,dx^{\nu}\,dx^{\rho}\,dx^{\sigma}.$$ Este formalismo se basa en el espacio-tiempo de Minkowski. Así que el espacio-tiempo curvo no está incluido aquí.