Localidad definida en términos de la densidad lagrangiana

He estado leyendo el libro de Matthew Schwartz "Teoría cuántica de campos y el modelo estándar " y en el capítulo 24 hay una sección sobre localidad (sección 24.4). En él define la localidad en términos del enunciado lagrangiano

"Tomamos localidad en el sentido de que el lagrangiano es una integral sobre una densidad lagrangiana que es un funcional de los campos y sus derivados evaluados en el mismo punto".

Lo cual está muy bien, pero luego elabora más para decir que

"Para ser claros, esta definición es matemática, no física: es una propiedad de nuestro marco de cálculo, no de observables " .

Esta parte me confunde porque pensé que toda la motivación era física, es decir, que los objetos en diferentes puntos del espacio-tiempo no deberían poder interactuar directamente entre sí. Para mí tiene sentido que, como la densidad lagrangiana caracteriza la dinámica de un sistema físico en un punto del espacio-tiempo dado, y la localidad exige que la dinámica del sistema en ese punto dependa solo del estado del sistema en ese punto ( es decir, la configuración del campo y cómo está cambiando en ese punto), entonces claramente la densidad lagrangiana debería depender nada más que del estado del sistema en ese punto, es decir, la configuración del campo y su tasa de cambio (en el espacio-tiempo)? ¿Quizás me estoy perdiendo algo?

@Qmechanic Gracias por el enlace. Desafortunadamente, ya he leído esa respuesta y realmente no ayudó.
¿El autor solo está hablando de 24.108 versus 24.109, uno es "local" el otro es "no local" pero como teorías de baja energía son similares?
@Timaeus Sí, creo que sí: si uno define una escala de corte, entonces recuperamos una teoría local. Sin embargo, mi problema en particular fue la afirmación de que el hecho de que evaluemos los campos y sus derivados en un solo punto del espacio-tiempo es una definición matemática y no física. Pensé que la intuición era física, es decir, que los objetos en distintos puntos del espacio-tiempo no deberían poder interactuar directamente, y que esto se implementa matemáticamente, al requerir que todos los objetos contenidos en la densidad lagrangiana se evalúen en el mismo punto del espacio-tiempo. ¡Estoy un poco confundido!
Probablemente solo esté diciendo que podemos calcular perfectamente "observables no locales" como ⟨ φ ( X ) φ ( y ) ⟩ incluso si X y y están separados como espacios y potencialmente obtienen una correlación distinta de cero.

Respuestas (1)

Para una teoría clásica de campos o una teoría clásica de campos y partículas, desea conocer la dinámica de esa trayectoria estacionaria. (O la dinámica de uno de los caminos estacionarios). Pero considera todo tipo de dinámicas, y simplemente rechaza las que no tienen una acción estacionaria.

Si sabe que las ecuaciones de Euler-Lagrange a las que aspira van a tener/ser derivadas en los puntos, tiene sentido comenzar con eso, porque hace que sea más fácil obtenerlas.

Para una teoría cuántica de campos, debe sentarse y preguntarse cuáles son los observables a los que apunta. Una posibilidad es que esté calculando una matriz de dispersión. En cuyo caso, sus observables, en cierto sentido, podrían estar en estados de partículas sin capa.

Si quiere pensar en ello como una distinción entre las interacciones dentro y fuera del caparazón, eso podría ser lo que está buscando.

Las interacciones fuera de la cáscara no son lo que está buscando como parte de sus observables. Por lo tanto, se trata únicamente de las matemáticas que está utilizando para describir las relaciones entre los estados de shell.

Por lo tanto, puede que no parezca gran cosa si su densidad está escrita en términos de derivadas del campo o no. Lo que importa es si incluyó todos los estados correctos de shell y obtuvo correctamente las relaciones entre ellos.

No hay una ubicación en un estado de shell, están separados más en el sentido de ser aproximadamente libres que en tener ubicaciones aproximadas que no se superponen. Pero la distinción física y los observables son probablemente los estados del caparazón y sus relaciones. Las matemáticas son solo cómo las calculas. Entonces, la localidad podría tratarse de cómo calculas las relaciones. Y, por lo tanto, apuntar a lo local o no local podría no ser la clave en comparación con tener el derecho sobre los estados de shell y las relaciones entre ellos.

No pude leer la página 475, así que podría estar totalmente equivocado sobre lo que pretendía el autor.

Entonces, ¿es simplemente que físicamente, desde una perspectiva cuántica, uno no puede localizar un objeto en un solo punto, pero en nuestra descripción matemática definimos localidad en el sentido de que las representaciones matemáticas de tales objetos (por ejemplo, campos) se evalúan en puntos únicos y en al hacerlo, nos aseguramos de que las interacciones estén mediadas de manera continua (lo que garantiza la conservación de la energía)? ¿Es correcto decir que, en general, una función local es aquella cuyo valor en un solo punto solo depende de los valores de sus variables en ese solo punto?
@Will No. La física son las frecuencias de los observables que obtienes dinámicamente. La definición de localidad que cita en este contexto se trata de cómo etiqueta las matemáticas que usa. Y la conservación de energía solo ocurre debido a las simetrías involucradas. Las simetrías involucradas tienen su propio (diferente) tipo de localidad involucrada. Una especie de localidad física, no esta nueva matemática.
Sin embargo, en un sentido puramente matemático, ¿es correcto decir que, en general, una función local es aquella cuyo valor en un solo punto solo depende de los valores de sus variables en ese solo punto?
Localidad definida en términos de la densidad lagrangiana
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