Trayectorias en la integral de trayectoria

En el enfoque de la integral de trayectoria se define de alguna manera heurística la integral de trayectoria funcional

Z = ∫ D ϕ mi i S ( ϕ )
y el otro afirma que hay que integrarse por todos los caminos.

Entiendo que el dominio de la integral es el espacio de configuración de la teoría.

Mi pregunta es:

¿Cómo depende la integral de nuestra elección inicial de espacio de configuración?

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Por ejemplo, en un espacio-tiempo globalmente hiperbólico con una superficie de Cauchy inicial compacta Σ uno puede tener problemas bien planteados para el campo escalar, ϕ con datos iniciales en los Espacios de Sobolev H 1 ( Σ ) × H 0 ( Σ ) . Sin embargo, también se puede probar que el problema está bien planteado para los datos iniciales en H k ( Σ ) × H k − 1 ( Σ ) .

Estos dos resultados de posesión del bien dan dos espacios de configuración diferentes H 1 en el primer caso y H k en el segundo.

¿Cómo cambia la integral de trayectoria en este caso?

Para las teorías de calibre, debe tener cuidado y modificar las transformaciones de calibre. Es decir, integrar sobre estados físicamente distintos. Véase, por ejemplo, "Estructura de espacio de fase y la integral de trayectoria para teorías de medida en un cilindro" de Sergey V. Shabanov arXiv:hep-th/9308002 para un estudio de ejemplos 2d.
Para agregar al comentario de A. Nelson, se puede corregir sistemáticamente el conteo excesivo de estados debido a la simetría de calibre empleando el método de Faddeev-Popov, como se describe en Peskin y Schroeder. En algunos casos, esto puede introducir campos adicionales conocidos como "campos fantasma".
@Alex Nelson: Gracias. Si entiendo correctamente, en el caso de un campo escalar que interactúa, no hay necesidad de arreglar el indicador y el espacio de configuración clásico es exactamente el espacio de funciones que usa para integrar; y si tiene libertad de calibre debe cociente el espacio por la acción del calibre. ¿Es esto correcto?
@sí, eso es correcto.

Respuestas (1)

Usted integra sobre todas las rutas en el espacio de configuración, pero tenga cuidado: las rutas diferenciables contribuyen a una medida de 0 en la integral. La verdadera contribución proviene de los caminos fractales de dimensión 2 (cf "La dimensión de un camino cuántico-mecánico" de Abbott y Wise).

Esta "extensión" de la trayectoria es el equivalente en integrales de trayectoria del principio de incertidumbre de Heisenberg, algo de la forma

⟨ metro X k + 1 − X k ε X k ⟩ − ⟨ X k metro X k − X k − 1 ε ⟩ = ℏ i ⟨ 1 ⟩

(ver Feynman y Hibbs)

los paréntesis angulares indican un camino de integración de algún funcional con alguna acción. Significa que no hay una velocidad real, sino solo una promedio, ya que los caminos son todos indiferenciables en todos los puntos. La velocidad tiene una desviación estándar vinculada a la desviación estándar de la posición de su medición (esto también se expresa en la relación informal que a veces se ve en el libro de integrales de ruta: d X 2 ∝ d t )

En el espacio de fase, las cosas se complican un poco más, y solo contribuyen las rutas discontinuas en el espacio de fase ("Feynman Path Integrals in a Phase Space" de Berezin).

La misma lógica se aplica a los campos y, de hecho, debe tener cuidado de no integrar la misma configuración de campo dos veces si se trata de un campo de indicador.

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