¿Por qué es correcta la densidad lagrangiana con interacciones?

En mecánica clásica, los lagrangianos de dos partículas se pueden sumar solo si las partículas no interactúan.

Yo no diría eso. Siempre puedes escribir un Lagrangiano$L$para un sistema de dos partículas. En general, toma la forma

$$L = L_1 + L_2 + L_i$$

dónde$L_i$es un término de interacción que depende de las coordenadas y/o velocidades de ambas partículas. Si y solo si las partículas no interactúan,$L_i = 0$, y solo en ese caso puedes escribir el Lagrangiano como la suma de los Lagrangianos de partículas individuales$L_1$y$L_2$.

Una idea similar se aplica en la teoría cuántica de campos. Recuerde que las densidades lagrangianas QFT toman formas como

$$\mathcal{L}(\phi, \partial\phi) \sim (\partial\phi)^2 - m^2\phi^2 - \sum_n g_n\phi^n$$

Por supuesto, hay muchos tipos diferentes, pero en general siempre hay un término cinético que implica las derivadas de los campos y otros términos que representan la masa del campo o las interacciones entre el campo y él mismo o con otros campos.

Ahora, en cierto sentido, una derivada es una forma de acoplar los valores de algún objeto en diferentes puntos del espacio-tiempo. Entonces debería tener sentido que el término cinético del Lagrangiano real

$$L_\text{kin} \sim \int\mathrm{d}^3\mathbf{x}\ (\partial\phi)^2$$

acopla los valores del campo$\phi$en diferentes puntos del espacio-tiempo. Esto es análogo al término$L_i$en el Lagrangiano clásico que involucra las coordenadas de múltiples partículas, excepto aquí, las coordenadas son reemplazadas por campos y las partículas son reemplazadas por ubicaciones. Así que tienes un término que acopla los campos en diferentes puntos del espacio-tiempo.

Note, sin embargo, que en el resto del Lagrangiano, no hay derivadas. Esto significa que fuera del término cinético, no hay conexión entre lo que sucede en diferentes puntos del espacio-tiempo. Específicamente, los términos de interacción

$$\int\mathrm{d}^3\mathbf{x}\ \sum_n g_n\phi^n$$

son locales, lo que significa que todas las interacciones de campo ocurren en un solo punto de espacio-tiempo. Esta es una forma simple de garantizar que las interacciones no se desarrollen de manera diferente cuando se ven desde diferentes marcos de referencia. Así que no hay problema en integrar los términos de interacción en todo el espacio.

Está confundiendo los conceptos de "interacciones" y "no localidad". En las teorías de campo realistas, incluidas todas las teorías que alguna vez usamos para estudiar fenómenos en el mundo que nos rodea, las interacciones existen pero mantienen la física local.

Como mencionó David, la densidad lagrangiana toma la forma

$${\mathcal L} = \sum_i \left[ (\partial_\mu \phi_i)^2 + m^2 \phi_i^2 \right] + O(\phi^{3+n})$$ la suma termina $i$de los términos bilineales en $\phi$o sus primeros derivados produce las partículas libres. Pero los términos de orden superior, que solo escribí bajo el $O$símbolo -que son cúbicos, cuárticos o incluso de orden superior- son responsables de todas las interacciones.

En particular, la interacción electromagnética entre dos objetos cargados se reduce a su interacción común con el campo electromagnético a través de la interacción

$${\mathcal L_{em}} = j_\mu A^\mu$$ dónde $j_\mu$es el vector de 4 que incluye la densidad de carga y el flujo. Debido a este término local en un punto, el campo electromagnético es perturbado por la primera carga. El campo electromagnético $A^\mu$continúa propagándose a otra partícula cargada, como si fuera un campo libre, y luego el término de interacción local del tipo anterior "hace clic" nuevamente y hace que la segunda partícula acelere de acuerdo con la posición y la carga de la primera partícula.

Esta descripción está especialmente optimizada para la teoría cuántica de campos, en la que el fotón se denomina partícula virtual, o mensajero de la interacción. Sin embargo, incluso en la teoría clásica de campos, se puede usar un lenguaje similar. Incluso el Lagrangiano de una teoría de campo clásica que describe las interacciones electromagnéticas que involucran materia cargada tiene una forma local.

Según tengo entendido, lo que estaba proponiendo era que habría términos bilocales o no locales en el lagrangiano.

$$L = \int d^{d-1} x\,{\mathcal L}_{local} + \int d^{d-1} x\, d^{d-1} y\, F(x) G(y)$$ que atraería o repelería directamente algunas densidades $F,G$que existen en cualquier par de puntos $x,y$, ¿bien? Esto nunca funciona en la teoría de campos en el nivel fundamental. El lagrangiano anterior no es local, no es una integral de una densidad, por lo que los campos en el punto $x$sería inmediatamente influenciado por campos en cualquier otro punto $y$. Esto violaría la localidad - una acción a distancia - y contradiría la relatividad porque cuando se combina con el principio de relatividad, una violación de la localidad también significa una violación de la causalidad (la regla de que las causas deben preceder a sus efectos).

Sin embargo, el lagrangiano bilocal anterior puede "derivarse aproximadamente" al "integrar el campo electromagnético". No puedo explicar exactamente lo que significa, especialmente porque este término es estándar solo en la mecánica cuántica (en la física clásica, corresponde a "resolver$A_\mu$lejos de las ecuaciones"). Sin embargo, permítanme decir la conclusión. Los términos de interacción bilocal entre dos cargas en las que está pensando pueden derivarse "aproximadamente" del Lagrangiano completamente local con el que comencé.

Debido a que la relatividad especial es un hecho bien establecido sobre la realidad y nunca hemos observado ninguna "acción a distancia" - o las interacciones entre dos cuerpos separados ocurren debido a un "mensajero" que tiene que moverse a lo largo de un camino que conecta los dos objetos - todos los lagrangianos de las teorías de campo que estudiamos están escritos como integrales de una densidad lagrangiana. Esta característica se llama "localidad".