¿Qué se entiende por densidad lagrangiana local?

¿Qué es una densidad lagrangiana local?

Una teoría de campos clásica en el espacio de Minkowski$\mathbb R^{d,1}$está especificado por un espacio$\mathcal C$de configuraciones de campo$\phi:\mathbb R^{d,1}\to T$, y un funcional de acción$S:\mathcal C\to\mathbb R$. El conjunto$T$se llama el espacio objetivo de la teoría y, a menudo, es un espacio vectorial. Si existe una función$L:\mathcal C\times\mathbb R\to \mathbb R$para cual

$$\begin{align} S[\phi] = \int_{\mathbb R} dt\, L[\phi](t), \end{align}$$ entonces llamamos $L$un lagrangiano para la teoría. Si además existe una función $\tilde L$tal que $$\begin{align} L[\phi](t) = \int_{\mathbb R^d} d^d\mathbf x \,\tilde L[\phi](t, \mathbf x) \end{align}$$ entonces llamamos $\tilde L$una densidad langrangiana para la teoría. Finalmente, si existe un entero positivo $n$y una funcion $\mathscr L$tal que $$\begin{align} \tilde L[\phi](t, \mathbf x) = \mathscr L(t,\mathbf x,\phi(t, \mathbf x), \partial\phi(t,\mathbf x), \dots, \partial^n\phi(t,\mathbf x)) \end{align}$$ entonces decimos que la densidad lagrangiana es local . En otras palabras, la densidad lagrangiana es local siempre que su valor en un punto del espacio-tiempo dado dependa solo de ese punto, del valor del campo en ese punto y de un número finito de sus derivadas en ese mismo punto.

Un ejemplo de densidad lagrangiana no local.

Considerar$T = \mathbb R$, es decir, una teoría de un único campo escalar real. Dejar$\mathbf a\in\mathbb R^d$y definir una densidad lagrangiana por

$$\begin{align} \tilde L[\phi](t,\mathbf x) = \phi(t,\mathbf x) + \phi(t, \mathbf x+\mathbf a). \end{align}$$ Esta densidad lagrangiana no es local porque el valor del lagrangiano en un punto dado $(t,\mathbf x)$depende del valor del campo en ese punto y del valor del campo en el punto $(t,\mathbf x+\mathbf a)$. Si fuéramos a Taylor expandir el segundo término $\phi(t,\mathbf a)$acerca de $\mathbf x$, entonces veríamos que la densidad lagrangiana depende de un número infinito de derivadas del campo, violando así la definición de densidad lagrangiana local.

¿Cuál es el problema con las teorías con densidades lagrangianas no locales?

No soy un experto en esto, así que me desviaré a otro usuario. Sin embargo, diré que las personas estudian teorías con densidades lagrangianas no locales en la práctica, por lo que no hay nada "malo" a priori en ellas, pero genéricamente pueden exhibir alguna patología que preferiría no tener.

Sin embargo, quizás lo más relevante, si está tomando QFT de un teórico de alta energía, por ejemplo, es que la densidad lagrangiana del modelo estándar es local, por lo que no es necesario considerar bestias no locales si uno está estudiando el modelo estándar. .