Funcionales locales versus no locales

Sí, hay formas rigurosas de definir la localidad en tales contextos, pero la terminología precisa utilizada lamentablemente depende tanto del contexto como de quién hace la definición.

Permítanme dar un ejemplo de contexto y definición.

Ejemplo de contexto/definición.

Por simplicidad conceptual, sea$\mathcal F$denotan un conjunto de funciones suaves que decaen rápidamente$f:\mathbb R\to \mathbb R$. Un funcional $\Phi$en$\mathcal F$es una funcion$\Phi:\mathcal F\to \mathbb R$.

Una función (todavía no funcional en$\mathcal F$)$\phi:\mathcal F\to\mathcal F$se llama local siempre que exista un entero positivo$n$, y una función$\bar\phi:\mathbb R^{n+1}\to\mathbb R$para cual

$$\begin{align} \phi[f](x) = \bar\phi\big(x, f(x), f'(x), f''(x), \dots, f^{(n)}(x)\big) \tag{1} \end{align}$$ para todos $f\in \mathcal F$y para todos $x\in\mathbb R$. En otras palabras, tal función es local siempre que dependa sólo de $x$, el valor de la función $f$en $x$, y el valor de cualquier número finito de derivadas de $f$en $x$.

Un funcional$\Phi$se llama funcional integral siempre que exista una función$\phi:\mathcal F\to\mathcal F$tal que

$$\begin{align} \Phi[f] = \int_{\mathbb R} dx \, \phi[f](x). \tag{2} \end{align}$$ Un funcional integral $\Phi$se llama local siempre que exista alguna función local $\phi:\mathcal F\to\mathcal F$para cual $(2)$sostiene

¿Qué podríamos haber definido de otra manera?

Algunos autores pueden no permitir derivados en la definición$(1)$, o podría llamar algo con derivados semi-locales . Esto tiene un sentido intuitivo porque si piensas en Taylor expandiendo una función, digamos, en cálculo de una sola variable, obtienes

$$\begin{align} f(x+a) = f(x) + f'(x)a + f''(x)\frac{a^2}{2} + \cdots, \end{align}$$ y si tu quieres $a$ser grande, es decir, si desea información sobre lo que está haciendo la función lejos de $x$(comportamiento no local), entonces necesita más términos derivados para sentir eso. Cuantas más derivadas considere, más sentirá el comportamiento "no local" de la función.

También se puede generalizar a situaciones en las que las funciones involucradas están en múltiples, o no son suaves pero quizás solo diferenciables un número finito de veces, etc., pero estos son solo detalles y no creo que iluminen el concepto.

Ejemplo 1 - un funcional local.

Supongamos que definimos una función$\phi_0:\mathcal F\to \mathcal F$como sigue:

$$\begin{align} \phi_0[f](x) = f(x), \end{align}$$ entonces $\phi_0$es una función local $\mathcal F\to\mathcal F$, y produce un funcional integral local $\Phi_0$dada por $$\begin{align} \Phi_0[f] = \int_{\mathbb R} dx\, \phi_0[f](x) = \int_{\mathbb R} dx\, f(x), \end{align}$$ que simplemente integra la función sobre la recta real.

Ejemplo 2 - otro funcional local.

Considere la función$\phi_a:\mathcal F\to\mathcal F$definido de la siguiente manera:

$$\begin{align} \phi_a[f](x) = f(x+a). \end{align}$$ Es esto $\phi_a$¿local? Bien para $a=0$ciertamente lo es ya que está de acuerdo con $\phi_0$. ¿Qué tal para $a\neq 0$? Bueno para tal caso $\phi_a$ciertamente no es porque $f(x+a)$depende tanto de $f(x)$y sobre un número infinito de derivadas de $f$en $x$. ¿Qué pasa con el funcional $\Phi_a$obtenido al integrar $\phi_a$? Darse cuenta de $$\begin{align} \Phi_a[f] &= \int_{\mathbb R} dx\,\phi_a[f](x) \\ &= \int_{\mathbb R} dx\, f(x+a) \\ &= \int_{\mathbb R} dx\, f(x) \\ &= \int_{\mathbb R} dx\, \phi_0[f](x)\\ &= \Phi_0[f]. \end{align}$$ Entonces $\Phi_a[f]$es local aunque $\phi_a$no es para $a\neq 0$.

La lección de este ejemplo es esta: usted puede encontrar un funcional integral$\Phi:\mathcal F\to\mathbb R$que se define integrando sobre una función no local$\phi:\mathcal F\to\mathcal F$. Sin embargo, todavía podría haber una forma de escribir el funcional$\Phi$como la integral sobre una función diferente, digamos$\phi'$, que es local, en cuyo caso podemos afirmar que$\Phi$es local también porque para verificar que un funcional es local, solo necesita encontrar una forma de escribirlo como la integral de una función local.