Derivadas direccionales de vectores colineales

Actualmente estoy aprendiendo sobre la derivada direccional y necesito descubrir algo para comprenderla por completo: lo que entendí es que las derivadas direccionales se refieren a cambios infinitesimales en las direcciones , entonces no estamos realmente interesados ​​en la magnitud de ese cambio.

Entonces, ¿podemos decir que se supone que el valor de la derivada direccional del vector V y el vector W = 100V (por ejemplo) en el punto (x,y) son casi iguales?

Nos interesa la magnitud del cambio. La derivada direccional es la tasa de cambio de la función en una dirección particular (especificada por un vector unitario). Si toma una función de dos variables y piensa en su gráfico (una superficie en el espacio tridimensional), elija una dirección en el plano xy y corte el gráfico con un plano vertical en esa dirección, la intersección del plano y el gráfico es una curva plana, y luego puedes pretender que todo sucede en ese plano y hacer un cálculo unidimensional ordinario allí.
@NickD Eso merece ser una respuesta en lugar de un comentario.
@NickD De acuerdo con la definición más general, la derivada de la dirección no se refiere necesariamente a un vector unitario. Esa es una definición más específica que se usa a menudo, pero no es "la definición". Consulte Derivada direccional
@gimusi Pero si queremos comparar direcciones para encontrar la "mejor" (la que apunta el gradiente, en realidad), tenemos que usar un vector unitario para normalizar las cosas usando la misma escala, ¿verdad?
@RyanB. Si el objetivo es encontrar la dirección de variación máxima mínima para la función, podemos usar ∂ F ∂ v → para cualquier fijo | v → | = k y no necesitamos k = 1 (incluso si a menudo elegimos k = 1 ). Recuerda que cuando la función es diferenciable podemos usar ∂ F ∂ v → = ∇ F ⋅ v → .

Respuestas (2)

Para cualquier v → = ( a , b ) podemos definir la derivada direccional como:

∂ F ∂ v → = límite h → 0 F ( X 0 + a h , y 0 + b h ) − F ( X 0 , y 0 ) h

y si consideramos el vector unitario correspondiente v ^ = ( C , d ) tal que v → = λ v ^ tenemos

∂ F ∂ v → = ∂ F ∂ λ v ^ = límite h → 0 λ F ( X 0 + λ C h , y 0 + λ d h ) − F ( X 0 , y 0 ) λ h = λ ∂ F ∂ v ^

[Hice que mi comentario fuera una respuesta alentado por @amd - ¡gracias!]

Nos interesa la magnitud del cambio. La derivada direccional es la tasa de cambio de la función en una dirección particular (especificada por un vector unitario en esa dirección). Si toma una función de dos variables y piensa en su gráfico (una superficie en el espacio tridimensional), elija una dirección en el plano xy y corte el gráfico con un plano vertical en esa dirección, la intersección del plano y el gráfico es una curva plana, y luego puedes pretender que todo sucede en ese plano y hacer un cálculo unidimensional ordinario allí.

Lo acabo de entender: estamos interesados ​​en la magnitud del cambio de la función, pero no cambiamos la magnitud del vector direccional. Es por eso que usamos vectores unitarios con poca, muy poca magnitud, ¿no?
No tenemos que usar vectores unitarios (como señala @gimusi): realmente no nos importa la magnitud del vector, solo su dirección (es por eso que es una "derivada direccional"). Pero cuando los vectores unitarios están disponibles (por ejemplo, en espacios euclidianos), son convenientes. No estoy seguro de lo que quiere decir con "magnitud pequeña, muy pequeña": los vectores unitarios tienen una longitud de 1 por definición.
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