Derivada de segundo orden con respecto a una función de dos variables.

Tengo una superficie definida como un radio vector en coordenadas esféricas:

$$r = r (\theta, \psi).$$ En coordenadas cartesianas, las proyecciones se calculan de la siguiente manera: $$\begin{align} r_x &= r \sin \theta \cos \phi, \\ r_y &= r \sin \theta \sin \phi, \\ r_z &= r \cos \theta. \end{align}$$ quiero calcular la curvatura gaussiana $K$de la superficie en coordenadas cartesianas expresadas mediante coordenadas esféricas: $$K=\det \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 r_z}{\partial r_x^2} & \frac{\partial^2 r_z}{\partial r_x \partial r_y} \\ \frac{\partial^2 r_z}{\partial r_x \partial r_y} & \frac{\partial^2 r_z}{\partial r_y^2} \end{pmatrix}.$$

Yo uso la regla de la cadena para calcular las derivadas:

$$\begin{align} r^{'}_x \equiv \frac{\partial r_z}{\partial r_x} &= \frac{\partial r_z}{\partial \theta} /\frac{\partial r_x}{\partial \theta} + \frac{\partial r_z}{\partial \phi} /\frac{\partial r_x}{\partial \phi}, \\ r^{'}_y \equiv\frac{\partial r_z}{\partial r_y} &= \frac{\partial r_z}{\partial \theta} /\frac{\partial r_y}{\partial \theta} + \frac{\partial r_z}{\partial \phi} /\frac{\partial r_y}{\partial \phi}, \end{align}$$ las derivadas de segundo orden se calculan de la misma manera: $$\begin{align} \frac{\partial^2 r_z}{\partial r_x^2} &= \frac{\partial r^{'}_x}{\partial \theta} /\frac{\partial r_x}{\partial \theta} + \frac{\partial r^{'}_x}{\partial \phi} /\frac{\partial r_x}{\partial \phi}, \\ \frac{\partial^2 r_z}{\partial r_y \partial r_x} &= \frac{\partial r^{'}_x}{\partial \theta} /\frac{\partial r_y}{\partial \theta} + \frac{\partial r^{'}_x}{\partial \phi} /\frac{\partial r_y}{\partial \phi}, \\ \frac{\partial^2 r_z}{\partial r_x \partial r_y} &= \frac{\partial r^{'}_y}{\partial \theta} /\frac{\partial r_x}{\partial \theta} + \frac{\partial r^{'}_y}{\partial \phi} /\frac{\partial r_x}{\partial \phi}, \\ \frac{\partial^2 r_z}{\partial r_y^2} &= \frac{\partial r^{'}_y}{\partial \theta} /\frac{\partial r_y}{\partial \theta} + \frac{\partial r^{'}_y}{\partial \phi} /\frac{\partial r_y}{\partial \phi}. \end{align}$$ De la ecuación anterior se sigue que $$\frac{\partial^2 r_z}{\partial r_x \partial r_y} \ne \frac{\partial^2 r_z}{\partial r_y \partial r_x},$$ que no puede ser verdad.

¿Dónde estoy cometiendo un error en el razonamiento anterior?

¡Gracias!