Derivada covariante de un espinor de Dirac y un elevador de Kosmann

En [1] he encontrado una definición de la derivada covariante de un campo de Dirac con una conexión general ω m a b (con torsión y no metricidad) [ver eq. (29)]:

∇ m ψ = ∂ m ψ − 1 4 ω m a b γ a γ b ψ

Utilizan el llamado elevador de Kosmann, para construir la conexión del espinor.

Γ m = − 1 4 ω m a b γ a γ b
de ω m a b . Tengo dos preguntas,

(Pregunta 1) ¿Existe una forma sencilla de explicar ese “ascensor Kosmann”? Tengo ideas básicas sobre la teoría del haz de fibras, pero me pierdo por completo si profundizamos en ese formalismo. No busco una explicación estrictamente rigurosa.

(Pregunta 2) Si expande esa derivada covariante, obtiene la lorentziana estándar más un nuevo término que no se transforma bien bajo las transformaciones de Lorentz:

∇ m ψ = ∂ m ψ − 1 4 ω m a b γ [ a γ b ] ψ − 1 4 ω m a a ψ = ∇ m L o r ψ − 1 4 ω m a a ψ

Yo pensaría que esta expresión no puede ser una "buena derivada covariante" porque quieres escribir algo Diff y (local) invariante de Lorentz. ¿Me equivoco?

[1] M. Adak, T. Dereli, LH Ryder, Ecuación de Dirac en espaciotiempos con torsión y no metricidad. arXiv:gr-qc/0208042

Para una conexión compatible con métrica ω m a b es sesgado simétrico en a , b , incluso en presencia de torsión --- por lo que el término ω m a a = ω m a b η a b es idénticamente cero.
@mikestone Sí, pero estoy considerando el caso no compatible con métricas. Ese es exactamente el problema, porque cuando incluyes la no metricidad en la teoría, ω m a b pierde su antisimetría en los dos últimos índices.

Respuestas (1)

Ascensor Kosmann

Las derivadas de mentira se definen naturalmente en campos vectoriales y tensoriales, porque sabemos cómo elevar los difeomorfismos de la variedad a su paquete tangente y cotangente. Kosmann pudo definir una derivada de Lie de un campo de espinor a lo largo de un vector Killing. A diferencia de las derivadas de Lie de campos vectoriales, la derivada de Kosmann Lie de un campo de espinor depende de la métrica, pero por lo demás satisface todas las propiedades de una derivada de Lie. Su idea es la siguiente:

El álgebra de mentira del grupo. S O ( norte ) es generado por matrices antisimétricas mi α β . Esta álgebra actúa sobre los espinores a través de la representación del espinor:

ρ ( mi ) = mi α β γ α γ β
( γ son las matrices de Dirac). No es difícil demostrar que las matrices ρ ( mi ) satisfacer el álgebra de Lie de S pag i norte ( norte ) que es lo mismo que S O ( norte ) .

En una variedad de espín de Riemann ( METRO , gramo ) , un vector de matanza ξ satisface la ecuación de Killing:

∇ α ξ β + ∇ β ξ α = 0
así el campo tensorial ∇ α ξ β es antisimétrico (solo en el caso de un vector Killing), por lo tanto, se puede representar en espinores a través de la misma relación anterior. Esto permite definir una derivada de Lie sobre espinores:
L ξ ψ = ξ α ∇ α ψ − ∇ α ξ β γ α γ β ψ
La motivación de la definición anterior es que la derivada de Lie sobre vectores puede escribirse de forma análoga en términos de derivadas covariantes, pero en el caso de los vectores se anula toda dependencia de la métrica a diferencia del caso de los espinores:
L ξ ζ = [ ξ , ζ ] = ξ α ∇ α ζ − ∇ α ξ ζ α

Segunda pregunta

Creo que el término adicional es un tensor verdadero y se conservan todas las propiedades de la derivada covariante.

¡Gracias! Muy claro. Ahora intentaré conectar esta información sobre la derivada de Lie con mi derivada covariante. Tienes razón con respecto a la segunda pregunta, el rastro de ω es precisamente la huella de la no metricidad la que se porta bien. Encuentro todo esto muy extraño, porque normalmente he visto conexiones generales (con no metricidad) como algo asociado al grupo GL(4,R) y la necesidad de introducir manifields, espinores de dimensión infinita, etc. (en el contexto de gravedad de calibre afín a la métrica); pero aquí tienes una conexión general que actúa sobre los espinores de Lorentz. ¡Interesante!
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