Derivada del tiempo de la traducción del tiempo Vector de muerte

Estoy trabajando con la métrica de agujero negro estático y esféricamente simétrica. En el problema en el que estoy trabajando, me dicen que k es el vector Killing de traducción de tiempo, ∂ ∂ t o k = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) . tambien me dicen que

k = − 1 2 ( ∇ a k b ) ( ∇ a k b ) | r H
... dónde r H es el horizonte del agujero negro.

Al tomar la derivada covariante de k , tenemos una ∇ t k t término. ¿El término anterior...

  • ∇ t k t = ∂ t k t porque k t no es un vector, es solo un componente de un vector, y la derivada covariante de una función es solo el parcial de dicha función?
  • El ∇ t k t componente de ∇ t k ? Cuál podría ser ∂ t k t − Γ t   t t k t ? (En este caso, el símbolo de Christoffel es en realidad cero, pero puede que no lo sea en otros casos).

Además, es ∂ t k t = ∂ 2 ∂ t 2 o es ∂ t k t = ∂ t ( 1 ) = 0 ?

Puedo ver de dónde viene tu confusión. Es posible que desee leer mi respuesta aquí , que se puede resumir como " ∇ t k t se entiende que es una abreviatura de algo más como ( ∇ k ~ ) t t ."

Respuestas (1)

Siempre debe trabajar con

∇ ρ k σ = ∂ ρ k σ − Γ ρ σ m k m
incluso si k m es un vector constante. Aquí ∂ t k t = 0 pero debes considerar los símbolos de Christoffel. Por ejemplo:
∇ t k t = ∂ t k t − Γ t t m k m = − Γ t t t k t
Después de eso, mira lo que Γ t t t es.

Vamos a sacar una derivada covariante de un vector y por eso no usamos ∇ m F ( X ) = ∂ m F ( X ) . Por ∇ ρ k σ , nos referimos a los componentes de la derivada covariante de un vector.
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