¿Cuál es el conmutador de un soporte de Poisson y la derivada covariante?

Question

¿Cuál es el conmutador de un soporte de Poisson y la derivada covariante?

Física
conmutador
covarianza
teoría de campo
corchetes de poisson
relatividad general

Vacío

Considere un campo vectorial clásico $V^\mu$ sobre un fondo curvo. Hacemos una división de coordenadas 3+1 en $t,x^i$ , dónde $x^i$ son coordenadas en hipersuperficies espaciales $\Sigma$ y $t$ el parámetro que los etiqueta.

Ahora considere un conjugado canónico

{\tilde{π}}_{m} = \frac{\partial \tilde{L}}{\partial (\partial_{0} ϕ^{m})},

$\tilde{\pi}_\mu = \frac{\partial \tilde{\mathcal{L}}}{\partial (\partial_0 \phi^\mu)},$ dónde

\tilde{L}

$\tilde{\mathcal{L}}$ es el escalar lagrangiano (la densidad lagrangiana sería

L = \tilde{L} \sqrt{- g}

$\mathcal{L} = \tilde{\mathcal{L}} \sqrt{-g}$ ). Entonces se cumple el siguiente corchete de Poisson

{V^{α} (X^{i}, t), {\tilde{π}}_{β} (y^{i}, t)} = \frac{1}{\sqrt{d}} d_{β}^{α} d^{(3)} (X^{i} - y^{i})

$\{V^\alpha(x^i,t),\tilde{\pi}_\beta (y^i,t)\} = \frac{1}{\sqrt{d}}\delta^{\alpha}_{\;\beta} \delta^{(3)} (x^i - y^i)$ dónde

\sqrt{d}

$\sqrt{d}$ es la raíz cuadrada del determinante de la métrica

d_{i j}

$d_{ij}$ inducido en

Σ

$\Sigma$ .

Ahora considere el momento total

{PAG}_{m} (t) \equiv \int_{Σ} ({\tilde{π}}_{α} (X^{i}, t) V_{; m}^{α} (X^{i}, t) - d_{m}^{t} \tilde{L} (X^{i}, t)) \sqrt{d} d^{3} X

$P_\mu(t) \equiv \int_\Sigma (\tilde{\pi}_\alpha(x^i,t) V^{\alpha}_{\;\; ;\mu}(x^i,t) - \delta^t_\mu \tilde{\mathcal{L}}(x^i,t)) \sqrt{d} \,d^3\! x$ dónde

V_{; μ}^{α} = \nabla_{μ} V^{α}

$V^\alpha_{\;\;;\mu} = \nabla_\mu V^\alpha$ es el gradiente covariante y

d Σ = \sqrt{d} d^{3} x

$d\Sigma = \sqrt{d} \, d^3 \! x$ es un elemento de volumen espacial covariante en

Σ

$\Sigma$ .

Ahora me gustaría evaluar corchetes como $\{V^\alpha(y^i,t), P_\mu (t)\},\{P_\mu,P_\nu\}$ o $\{V^{\alpha}_{\;\; ;\mu},P_\nu\}$ para explorar más esta álgebra. El problema es, sin embargo, que el soporte de Poisson y $\nabla_\mu$ obviamente no conmute porque si cambio su orden de diferentes maneras, parece que obtengo resultados diferentes en cada caso. Entonces, ¿cómo se obtiene la derivada covariante fuera del corchete de Poisson?

En otras palabras, estoy buscando $A^\alpha_{\; \beta \mu}$ y $B^\alpha_{\; \beta \nu}$ tal que

{V_{; m}^{α} (X^{i}, t), {\tilde{π}}_{β} (y^{i}, t)} = \nabla_{m}^{(X)} {V^{α} (X^{i}, t), {\tilde{π}}_{β} (y^{i}, t)} + A_{β m}^{α}

$\{V^\alpha_{\;\;;\mu}(x^i,t), \tilde \pi_\beta(y^i,t)\} = \nabla^{(x)}_\mu\{V^\alpha (x^i,t), \tilde \pi_\beta(y^i, t)\} + A^\alpha_{\; \beta \mu}$

{V^{α} (X^{i}, t), {\tilde{π}}_{β; v} (y^{i}, t)} = \nabla_{v}^{(y)} {V^{α} (X^{i}, t), {\tilde{π}}_{β} (y^{i}, t)} + B_{β v}^{α}

$\{V^\alpha(x^i,t), \tilde \pi_{\beta;\nu}(y^i,t)\} = \nabla^{(y)}_\nu\{V^\alpha (x^i,t), \tilde \pi_\beta(y^i, t)\} + B^\alpha_{\; \beta \nu}$ ¿Qué son y cómo puedo encontrarlos?

alfa001

Se diferencian con respecto a

x

$x$ y

y

$y$ , por lo que no debería haber problema para escribir la derivada delante del anticonmutador (ya que el otro argumento depende de otro punto del espacio-tiempo). Solo hay que mirar el caso en que

x = y

$x=y$ .

Vacío

@Alpha001 Bueno, estoy trabajando en eso, una cosa que descuidé anteriormente es que

\sqrt{d}

$\sqrt{d}$ no es constante y eso

V^{μ; 0}

$V^{\mu;0}$ en realidad debería escribirse como una función de

π^{μ}

$\pi^\mu$ . Tal vez publique esto como una pregunta auto respondida una vez que el polvo se asiente después del fin de semana, pero si desea publicar una respuesta ahora.

qmecanico

Por curiosidad, ¿cuál es/son el hamiltoniano y/o el lagrangiano de la teoría?

Vacío

@Qmechanic El punto es derivar las relaciones independientemente del Lagrangiano. Supongo que estaba preguntando por las curiosas relaciones de conmutación, etc., he corregido estos problemas en la respuesta.

Respuestas (1)

¿Cuál es el conmutador de un soporte de Poisson y la derivada covariante?

Se diferencian con respecto a $x$ y $y$ , por lo que no debería haber problema para escribir la derivada delante del anticonmutador (ya que el otro argumento depende de otro punto del espacio-tiempo). Solo hay que mirar el caso en que $x=y$ .
@Alpha001 Bueno, estoy trabajando en eso, una cosa que descuidé anteriormente es que $\sqrt{d}$ no es constante y eso $V^{\mu;0}$ en realidad debería escribirse como una función de $\pi^\mu$ . Tal vez publique esto como una pregunta auto respondida una vez que el polvo se asiente después del fin de semana, pero si desea publicar una respuesta ahora.
Por curiosidad, ¿cuál es/son el hamiltoniano y/o el lagrangiano de la teoría?
@Qmechanic El punto es derivar las relaciones independientemente del Lagrangiano. Supongo que estaba preguntando por las curiosas relaciones de conmutación, etc., he corregido estos problemas en la respuesta.

Vacío · Answer 1

Hubo un error en el supuesto fundacional de la pregunta. (He editado la pregunta original para que la notación coincida y pueda encontrar definiciones de cantidades allí si no están definidas aquí).

Gran parte de las dificultades con el cálculo provienen del hecho de que el momento conjugado canónicamente "adecuado" en realidad se define como

π_{m} = \frac{\partial (\tilde{L} \sqrt{- gramo})}{\partial (\partial_{0} V^{m})} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{0} V^{m})} .

$\pi_\mu = \frac{\partial (\tilde{\mathcal{L}} \sqrt{-g})}{\partial (\partial_0 V^\mu)} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_0 V^\mu)}\,.$ este impulso

π_{μ} = {\tilde{π}}_{μ} \sqrt{- g}

$\pi_\mu = \tilde{\pi}_\mu \sqrt{-g}$ es entonces en sí misma una densidad vectorial en

Σ

$\Sigma$ y el paréntesis de Poisson dice

{V^{α} (X^{i}, t), π_{β} (y^{i}, t)} = d_{β}^{α} d^{(3)} (X^{i} - y^{i}) .

$\{V^\alpha(x^i,t), \pi_\beta (y^i,t)\} = \delta^\alpha_\beta \delta^{(3)}(x^{i} - y^i)\,.$ Tenga en cuenta que en la pregunta original el

{V^{α} (x^{i}, t), {\tilde{π}}_{β} (y^{i}, t)}

$\{V^\alpha(x^i,t), \tilde \pi_\beta (y^i,t)\}$ el corchete se expresa incorrectamente, porque vemos que tenemos

{V^{α} (X^{i}, t), {\tilde{π}}_{β} (y^{i}, t)} = \frac{1}{\sqrt{- gramo}} d_{β}^{α} d^{(3)} (X^{i} - y^{i}) .

$\{V^\alpha(x^i,t), \tilde \pi_\beta (y^i,t)\} = \frac{1}{\sqrt{-g}}\delta^\alpha_\beta \delta^{(3)}(x^{i} - y^i)\,.$ Usando las propiedades de la función delta, es fácil mostrar que el siguiente corchete de Poisson se puede definir para los funcionales de los campos:

A (t) [π, ϕ] = \int A (π_{α}, π_{α, i}, V^{α}, V_{, i}^{α}, X^{i}, t) d^{3} X

$A(t)[\pi,\phi] = \int \mathcal{A}(\pi_\alpha,\pi_{\alpha,i}, V^\alpha, V^\alpha_{\;,i},x^i,t) d^3 x$

B (t) [π, ϕ] = \int B (π_{α}, π_{α, i}, V^{α}, V_{, i}^{α}, X^{i}, t) d^{3} X

$B(t)[\pi,\phi] = \int \mathcal{B}(\pi_\alpha,\pi_{\alpha,i}, V^\alpha, V^\alpha_{\;,i},x^i,t) d^3 x$

{A (t), B (t)} = \int \frac{d A}{d V^{α}} \frac{d B}{d π_{α}} - \frac{d B}{d V^{α}} \frac{d A}{d π_{α}} d^{3} X

$\{A(t),B(t)\} = \int \frac{\delta \mathcal{A}}{\delta V^\alpha} \frac{\delta \mathcal{B}}{\delta \pi_\alpha} - \frac{\delta \mathcal{B}}{\delta V^\alpha} \frac{\delta \mathcal{A}}{\delta \pi_\alpha} d^3 x$ dónde

A, B

$\mathcal{A},\mathcal{B}$ son densidades en

Σ

$\Sigma$ y

δ F / δ f

$\delta \mathcal{F}/\delta f$ es la derivada variacional

\frac{d F}{d F} = \frac{\partial F}{\partial F} - \frac{\partial}{\partial X^{i}} \frac{\partial F}{\partial (F_{, i})},

$\begin{equation} \frac{\delta \mathcal{F}}{\delta f} = \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial f} - \frac{\partial \;}{\partial x^i} \frac{\partial \mathcal{F}}{\partial (f_{,i})}\,, \end{equation}$ donde hemos supuesto que

F

$\mathcal{F}$ depende solo de

f

$f$ y sus gradientes de primer orden (para gradientes de orden superior obtenemos una serie de términos análogos de signo variable). Esto aborda solo los gradientes espaciales en

Σ

$\Sigma$ y no las temporales.

Los gradientes temporales pueden ser eliminados por $field_{,0} = \{field,\mathcal{H}\}$ , algunos gradientes de primer orden serán posibles de eliminar sustituyendo

π_{m} V_{, 0}^{m} - L = H .

$\pi_\mu V^{\mu}_{\;,0} - \mathcal{L} = \mathcal{H}\,.$

En cuanto a los conmutadores de gradientes de campos, con estas mejores variables es fácil calcular

{V_{; m}^{α} (X^{i}, t), π_{β} (y^{i}, t)} = (d_{β}^{α} \partial_{m (X)} + Γ_{m β}^{α}) d^{(3)} (X^{i} - y^{i})

$\{V^\alpha_{\;;\mu}(x^i,t), \pi_\beta (y^i,t)\} = (\delta^\alpha_\beta \partial_{\mu(x)} + \Gamma^\alpha_{\mu\beta})\delta^{(3)}(x^{i} - y^i)$

{V^{α} (X^{i}, t), π_{β | m} (y^{i}, t)} = (d_{β}^{α} \partial_{m (y)} - Γ_{m β}^{α}) d^{(3)} (X^{i} - y^{i}),

$\{V^\alpha(x^i,t), \pi_{\beta|\mu} (y^i,t)\} = (\delta^\alpha_\beta \partial_{\mu(y)} - \Gamma^\alpha_{\mu\beta})\delta^{(3)}(x^{i} - y^i)\,,$ donde el simbolo

π_{β | μ}

$\pi_{\beta|\mu}$ representa una derivada pseudocovariante

π_{β | μ} = π_{β, μ} - Γ_{μ β}^{γ} π_{γ}

$\pi_{\beta|\mu} = \pi_{\beta,\mu} - \Gamma^\gamma_{\mu\beta} \pi_\gamma$ (recuerda eso

π_{μ}

$\pi_\mu$ no es una cantidad covariante) y por supuesto

\partial_{0} δ^{(3)} = 0

$\partial_0 \delta^{(3)} = 0$ . Esta derivada demuestra ser muy útil en el cálculo de muchos soportes.

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