¿Las derivadas parciales contravariantes y covariantes conmutan en GR?

El conmutador de derivadas covariantes define el tensor de Riemann, a saber.$[\nabla_\mu,\,\nabla_\nu]=R_{\mu\nu\rho\sigma}\nabla^\sigma$. Contratando los índices de la izquierda se obtiene$0$, ya que el tensor de Riemann es antisimétrico en sus índices más a la izquierda. Sin embargo, en general, elevar un índice sin contracción da un conmutador distinto de cero para las derivadas covariantes. Por supuesto, dado que las derivadas covariantes son tensores, también lo son sus conmutadores.

El problema que ha encontrado con las derivadas parciales con índices superiores en realidad proporciona una motivación para las derivadas covariantes, pero podemos explicarlo con la pregunta aún más simple de cómo se definen estas derivadas. Lo hace$\partial^\nu$, sea lo que sea, actúa aplicando$\partial_\mu$antes o después de multiplicar por$g^{\mu\nu}$? Claramente, el problema es que las derivadas parciales no son "métricamente compatibles", lo que en vista de la ley de Leibniz significa que no aniquilan el tensor métrico, mientras que las derivadas covariantes están diseñadas para hacer exactamente eso.

No deberían conmutar, que parezca que deberían hacerlo es principalmente un resultado superficial de la notación.

A continuación, reescribimos estos derivados de tal manera que es manifiesto que no son lo mismo. La idea es simplemente darles sentido en términos de operaciones que son un poco más globales que cambiar términos en expresiones en un espacio tangente.

Reclamar

Dejar$(M, g)$sea ​​una variedad de Riemann,$f \in C^\infty(M)$. En alguna coordenada local$x^\mu$definido en abierto$U \in M$:

dónde

• $d: C^\infty(M) \to \Omega^1(M) \equiv \Gamma(T^*M)$($\Gamma$denote el espacio de secciones lisas en un paquete) es el diferencial de De Rham.
• $\nabla: C^\infty(f) \to \Gamma(TM)$es el gradiente habitual, definido por la propiedad

La prueba de la afirmación es solo un cálculo directo escribiendo el RHS de las expresiones anteriores en componentes. Una identidad útil es la expresión local para el gradiente:$dx^\mu[\nabla f] = g^{\mu\nu}\partial_v f$(que puede probarse como ejercicio o buscarlo en cualquier texto estándar de geometría riemanniana).

En la suma Si está tratando de calcular un Laplaciano, la versión correcta es$\partial_\mu \partial^\mu$, consulte, por ejemplo, la breve derivación de la fórmula local para el operador de Laplace-Beltrami en wikipedia .