¿Cómo calcular la derivada covariante ∇eβeα∇eβeα\nabla_{\bf e_\beta}{\bf e}_\alpha de un vector base a lo largo de otro vector base?

En tu primera ecuación diste la expresión de los componentes de la derivada covariante de un campo vectorial contravariante$V^\nu$. Su segunda ecuación es un poco diferente allí, tiene la derivada covariante de un vector base a lo largo de un vector base: estamos tratando con vectores allí.

Los vectores y los componentes (de vectores) son objetos muy, muy diferentes: los componentes siempre están relacionados con un conjunto fijo (elegido) de vectores base, donde los vectores, por otro lado, son independientes de la base. Dicho esto, no puedes simplemente conectar vectores en tu primera ecuación. Su primera ecuación no es válida para vectores, solo es válida para componentes. Para la derivada covariante de un vector a lo largo de un vector necesitarías:

$$\nabla_\mathbf{v}\mathbf{u}=\nabla_{v^i\mathbf{e_i}}u^j\mathbf{e_j}=v^i\nabla_\mathbf{e_i}u^j\mathbf{e_j}=v^iu^j\nabla_\mathbf{e_i}\mathbf{e_j}+v^i\mathbf{e_j}\nabla_\mathbf{e_i}u^j=(v^iu^j \Gamma^k_{~ij}+v^i\frac{\partial u^k}{\partial x^i})\mathbf{e_k} \tag{1}.$$ En el último paso usamos eso $$\nabla_{\mathbf{e_i}}\mathbf{e_j}=\Gamma^k_{~ij}\mathbf{e_k}\tag{2},$$ que es una definición de la conexión afín: Los vectores base cambian si uno se mueve de un punto a otro en una distancia infinitesimal y la transformación que describe este cambio es la conexión afín.

Si uno acepta el lado izquierdo y el lado derecho de (1) como una definición, uno puede fácilmente verificar que (2) sería una consecuencia (conjunto$\mathbf{v}=\mathbf{e_i} \Leftrightarrow v^i=1$y$\mathbf{u}=\mathbf{e_j} \Leftrightarrow u^j=1$pero ten en cuenta que ahora$i$y$j$no son índices de suma más largos.) Pero la ecuación (2) tiene un significado más profundo que solo una consecuencia trivial de (1) ya que (2) en realidad se usa para definir (1). La ecuación (2) realmente describe la curvatura del espacio: en términos de los vectores de cambio de base.

Entonces, a su pregunta acerca de que los vectores base son campos vectoriales: sí, por supuesto que lo son. La geometría diferencial o la relatividad general solo se vuelven no triviales si este es el caso: si los vectores base fueran constantes en el espacio, la métrica sería constante y todos los objetos superiores desaparecerían. Todos los objetos de GR son, desde un punto de vista formal, campos: campos vectoriales, escalares e incluso tensoriales del espacio-tiempo de cuatro dimensiones. E incluso en la geometría diferencial "clásica" este sería el caso. El mejor ejemplo: los vectores base en la superficie de una esfera (2D) cambian con la posición/ángulos, es por eso que desde un punto matemático la superficie de una esfera tiene una curvatura que no desaparece.

Sobre su pregunta sobre la "naturaleza"/tipo de ecuaciones (1) y (2): la derivada covariante de un componente/vector es un tensor de rango 2.

la notación$e_i$se usa comúnmente para campos de marco (campos de vectores base) como una notación más general que$\partial_\mu$. Las formas de conexión,$\gamma^i{}_j$(tenga en cuenta que estos índices no son tensorial) se definen en relación con los campos del marco tal que

$$\nabla_v e_i = \gamma^j{}_i(v)e_j = \gamma^j{}_{ik}v^ke_j,$$ y tenemos $$\nabla_{e_k}e_i = \gamma^j{}_{ik}e_j.$$ Aquí $\gamma^i{}_{jk}$son los componentes de las formas de conexión. En un marco de coordenadas $\partial_\mu$tenemos $\gamma^\mu{}_{\nu\sigma} = \Gamma^\mu_{\nu\sigma}$, los símbolos de Christoffel (pero por supuesto podríamos denotar $\gamma^i{}_{jk}$por $\Gamma^i{}_{jk}$o $\Gamma^i_{jk}$; es sólo una cuestión de convención). De hecho a partir de algunos postulados para la derivada covariante:

1. $\nabla_{fu + gv}T = f\nabla_uT + g\nabla_vT$,

2. $\nabla_v(T + Q) = \nabla_v T + \nabla_v Q$,

3. $\nabla_v(fT) = v(f) + \nabla_vT$,

dónde$u$y$v$son campos vectoriales,$f$y$g$funciones, y$T$y$Q$son campos tensoriales, podemos ver que las formas de conexión deben existir, y derivar la fórmula para la derivada covariante de vectores

$$\begin{align} \nabla_uv &= \nabla_{u^ie_i}v^je_j \\ &= u^i\partial_iv^j + u^i\gamma^k{}_j(e_i)v^j \\ &= u^i\partial_iv^k + \gamma^k{}_{ij}u^iv^j. \end{align}$$ A partir de aquí se pueden derivar fórmulas para tensores más generales.

Para comprender esto, puede ser útil tener en cuenta que para los campos de marco podemos seleccionar cualquier campo vectorial linealmente independiente que abarque el espacio tangente en cada punto de su dominio. Un campo vectorial$v$entonces tiene componentes$v^i$dada por$v = v^ie_i$. Aunque es un concepto extremadamente útil, el uso de la notación de índice abstracto donde denotamos el vector mismo por$v^i$a veces puede confundir esto. De manera similar, podemos definir campos de marco dual en el paquete cotangente$\omega^i$($e^i$también es de uso común, y$\omega^i{}_j$se usa a menudo para los formularios de conexión, aunque nunca me he encontrado$e^i{}_j$) por$\omega^i(e_j) = \delta^i_j$, y luego una forma$\alpha$tiene componentes$\alpha_i$dada por$\alpha = \alpha_i\omega^i$. En esta notación

$$\alpha(v) = \alpha_i\omega^i(v^je_j) = \alpha_iv^j\delta^i_j = \alpha_iv^i,$$ es decir, contracción sobre índices. Los tensores más generales tienen componentes definidos por los productos tensoriales de una serie de $e_i$:arena $\omega^i$:s.

Si lo desea, puede considerar los campos de vector de marco definidos en el marco de coordenadas común de modo que$e_i = e_i^\mu = e_i^\mu\partial_\mu$, pero personalmente no encuentro esto muy esclarecedor excepto cuando estamos haciendo la transición hacia o desde algunas coordenadas para la notación. Tal vez debería señalar que el índice$e_i$tampoco es tensorial, sino que define los índices tensoriales$v^i$. Esta combinación de índices tensoriales y no tensoriales puede parecer confuso al principio, pero en la práctica uno se acostumbra rápidamente a distinguirlos.