¿Qué significa diferenciar un campo con valores de espinor?

Formalmente, el significado que asignas es solo el significado habitual de la derivada.

De hecho, puede calcularlo por componentes, porque puede restar dos espinores, como en la ecuación anterior, simplemente restando sus componentes. El objeto que obtienes tiene dieciséis componentes y dos índices.

Lleva un índice de cuatro vectores de la diferenciación y un índice de espinor del campo de espinor. Bajo una transformación de Lorentz, el índice de cuatro vectores se contrae con una matriz de transformación de Lorentz normal (de cuatro vectores) y el índice de spinor se contrae con una matriz de transformación de Lorentz de spinor. Más precisamente, se podría decir que la representación del grupo de Lorentz en el que vive se forma como el producto tensorial de la representación de cuatro vectores y la representación del espinor de Dirac.

Tu intuición es correcta de que si tomas una sola componente del espinor y la diferencias con el espacio y el tiempo, el objeto resultante, con cuatro índices, no será un cuatro vector, porque la transformación de Lorentz no solo mezcla el espacio y componentes de tiempo, sino que también mezcla este componente de espinor con los otros componentes de espinor, mientras que un vector de cuatro real se transformaría de una manera que solo requiere que conozca sus propios cuatro componentes. Es lo mismo que una sola fila o columna de, digamos, el tensor de tensión-energía no logra transformarse como un vector de cuatro.

Básicamente, su confusión se debe a un sesgo sobre lo que es un vector.

Todos están de acuerdo en que puedes agregar dos vectores y obtener otro.

Todos están de acuerdo en que puedes escalar un vector y obtener otro vector.

A veces elevamos al cuadrado un vector y obtenemos un escalar, pero algunas personas dicen que es "simplemente" un abuso de notación. Pero eso es sólo un caso especial de$frac{\gamma_\mu\gamma_\nu+\gamma_\mu\gamma_\mu}{2}$igualando$\pm 1$o cero dependiendo de si los índices son iguales y temporales, iguales y espaciales, o los índices son diferentes.

Así que aquí hay una perspectiva. Suponga que algún día en alguna aplicación de física va a representar vectores en el espacio-tiempo y los multiplicará de manera que el cuadrado de un vector sea igual a la longitud del cuadrado.

Ocurre en la introducción a la física, pero siempre se puede tomar la longitud y luego multiplicar eso. Ocurre en la mecánica cuántica relativista y no se puede evitar.

Así que empieza asumiendo que vas a hacer eso algún día. Luego acepta que el resultado de multiplicar vectores es tan normal como el resultado de sumar vectores. Entonces, los vectores viven en un espacio de multivectores de los cuales los vectores solo forman una parte.

Ahora los vectores son solo tipos particulares si los multivectores y los multivectores son cosas que puedes escalar, sumar y también multiplicar y obtienes otros multivectores. ¿Y cómo son los multivectores? Parecen combinaciones lineales de productos de vectores. Eso es todo. Nada escandaloso.

Ahora. ¿Es un vector una matriz columna? ¿Es una matriz de filas? ¿Es una matriz cuadrada? ¿Es solo un elemento de un álgebra que tiene una escala, una suma y una multiplicación? La última es la verdadera historia. Pero la matriz cuadrada puede ser buena porque ya sabemos cómo escalar, sumar y multiplicar matrices. Pero tenga en cuenta que el álgebra solo tiene dieciséis elementos linealmente independientes.

Entonces, una matriz compleja de 4x1 puede tener suficiente información, una matriz compleja de 1x4 puede tener suficiente información. Y se puede leer un 4x4 complejo para usar la escala, suma y multiplicación de matrices que ya conoce. Pero si son solo sus sustitutos para los elementos del álgebra, entonces no importa qué sustitutos use.

Y aquí está la clave de lo tonto que es tu sesgo. Podría elegir cuatro elementos de su álgebra que sean anticonmutables y cuadrados para dar el número correcto de$\pm 1$veces el elemento de identidad. Entonces podrías llamarlos vectores y llamarlos$\gamma_0,$ $\gamma_1,$ $\gamma_2,$y$\gamma_3.$Y puede asociarlos con cualquier marco ortonormal de vectores en el espacio-tiempo.

No hay razón para asociar un elemento particular con una dirección particular en el espacio-tiempo, es como elegir una base.

Elegir una matriz para que sustituya a su vector es como elegir una base. Es irrelevante, pero si eso significa que puede usar el escalado y la suma de matrices (como lo hace en la introducción a la física) o incluso la multiplicación de matrices también (como hacen muchas personas cuando estudian la mecánica cuántica relativista), eso es solo usted tratando de recordar cómo escalar, sumar y multiplicar.

Los multivectores ya vivían en un álgebra ya tenían una escala una suma y una multiplicación. En lugar de aprenderlo (lo cual es simple, simplemente multiplique una combinación lineal de productos de vectores por otra distribuyendo primero y luego tiene una combinación lineal de productos de vectores, luego, si es necesario, puede dividirse en vectores de base ortogonal y luego distribuir si ve un vector base repetido anticonmutarlo más allá de los otros vectores hasta que sea por su gemelo y luego reemplazarlo con$\pm 1$hasta que no queden repeticiones para ningún producto, ahora puede combinar términos similares y tiene una forma canónica para esa base), lo que puede hacer solo unas pocas veces para un conjunto más pequeño de generadores hasta que tenga la idea.

En lugar de aprender el álgebra, te fijas en una base y luego en una representación y luego te preocupas de cuándo representar algo con un 4x4 o con un 4x1 (usa el primero si lo vas a multiplicar a la izquierda de algo o deja de usar matrices para todo y solo usa el álgebra porque a quién le importa qué marco ortonormal en el espacio-tiempo te gusta más, a la naturaleza no le importa).

Entonces, los vectores son solo multivectores especiales. Y multivector se puede escalar, sumar y multiplicar. Xan las escribiste como matrices si eso te ayuda a escalarlas, sumarlas y multiplicarlas. Si nunca va a multiplicar algo a la izquierda de otra cosa, puede escribirlo como una matriz de columna. Si quieres.

Pero aquí está la cosa. Las leyes de la física solo ven la ecuación, no pueden decir qué marco ortonormal te gusta, no pueden decir si estás usando matrices complejas de 4x4 para representar todo. No les importa Y tampoco te tiene que importar.

Puede tener espacio-tiempo y puede tener campos de valores multivector definidos en ellos. Si quieres usar matrices para ayudarte a recordar qué elementos obtienes cuando multiplicas, hazlo, pero no esperes que a la naturaleza le importe.

Es como si a la naturaleza no le importara si escribiste la fórmula para un rizo en el anverso o en el reverso de la hoja de ecuaciones. A la naturaleza no le importa.

Entonces sabemos lo que es un vector. Cuando escribe el laplaciano, solo necesita tomar algunas derivadas y combinarlas con los signos correctos y los cuatro dispositivos vectoriales I están tratando de recordárselo o es algo así como una derivada repetida.

Y hay una derivada,$\gamma^\mu\partial_\mu$y como estos viven en un álgebra, sabes cómo escalarlos y sumarlos para que puedas tomar el parcial y luego también sabes cómo multiplicar por$\gamma^\mu=\pm \gamma_\mu$por lo que no hay ningún misterio acerca de cómo tomar una derivada.

Si los parciales no existen, aún podría tener una derivada como límite de$\int_S f x dS/\int_V dV$donde nuevamente esto es solo una escala por$1/\int_VdV$de una suma (integral) de$f x$un producto. Todas las cosas que existen en un álgebra.

Y los espinores son, como los vectores, solo un subconjunto de todos los multivectores.