Conmutar derivadas covariantes de espinores

Usaré una notación diferente a la tuya, y todo lo que escribo se puede encontrar en la Ref. [1] capítulos 1.1 - 1.6, lo recomiendo mucho (la sección 1.6 es particularmente relevante, pero también necesitará las secciones anteriores).

Haré todo en el cuadro tangente (por lo que todos los índices son Lorentz locales), puede volver a convertir usando el vielbein si lo desea. También estaré trabajando en cuatro dimensiones. La derivada covariante se escribe como

$$\nabla_{a}=e_a+\frac{1}{2}\omega_a{}^{bc}M_{bc}~,$$ dónde$e_a=e_a{}^{m}\partial_m$es el vielbein inverso,$\omega_a{}^{bc}$es la conexión de espín y$M_{ab}$son los generadores de Lorentz. La diferencia importante entre mi expresión y la tuya es que mis generadores de Lorentz están en una representación arbitraria, mientras que los tuyos están en lo que creo que podría ser la representación de Dirac (es decir, espinores reducibles de 4 componentes).

Entonces se puede demostrar que, en el caso libre de torsión, el conmutador de derivadas covariantes es

$$[\nabla_a,\nabla_b]=\frac{1}{2}R_{ab}{}^{cd}M_{cd}~.$$ La belleza de esta fórmula es que puede actuar sobre cualquier tipo de tensor de espín, solo necesitas recordar cómo actúan los generadores de Lorentz sobre diferentes objetos, la regla de Leibniz para los generadores te llevará desde allí.

Daré algunos ejemplos de cómo$M_{ab}$actuar sobre ciertos objetos, pero probablemente esté familiarizado con estos. Dejar$V_a$ser un vector,$\psi_{\alpha}$y$\bar{\chi}^{\dot{\alpha}}$un espinor de 2 componentes para zurdos y diestros respectivamente y sea$\Psi=\big(\psi_{\alpha},~\bar{\chi}^{\dot{\alpha}}\big)^T$sea ​​un espinor de 4 componentes. Los generadores de Lorentz actúan sobre el de la siguiente manera

$$\begin{align} M_{ab}V_c&=\eta_{ca}V_b-\eta_{cb}V_a~, \tag{1.a}\\ M_{ab}\psi_{\alpha}&=(\sigma_{ab})_{\alpha}{}^{\beta}\psi_{\beta}~, \tag{1.b}\\ M_{ab}\bar{\chi}^{\dot{\alpha}}&=(\tilde{\sigma}_{ab})^{\dot{\alpha}}{}_{\dot{\beta}}\bar{\chi}^{\dot{\beta}}~,\tag{1.c}\\ M_{ab}\Psi&=\Sigma_{ab}\Psi~. \tag{1.d} \end{align}$$

Aquí$\sigma_{ab}=-\frac{1}{4}\big(\sigma^a\tilde{\sigma}^b-\sigma^b\tilde{\sigma}^a\big)$,$\Sigma_{ab}=-\frac{1}{4}[\gamma_a,\gamma_b]$y$\gamma_a=\begin{pmatrix} 0 & \sigma_a \\ \tilde{\sigma}_a &0\end{pmatrix}$etcétera etcétera.

Por supuesto, si está trabajando con espinores, generalmente es mucho más fácil convertir todo en notación de espinores de 2 componentes, entonces solo hay dos reglas para recordar.

Para concluir, haré uno de sus ejemplos explícitamente. Asumiré que su$\psi$es un espinor de 4 componentes.

$$\begin{align} [\nabla_a,\nabla_b]\nabla_c\nabla_d\psi&=\frac{1}{2}R_{ab}{}^{fg}M_{fg}\bigg(\nabla_c\nabla_d\psi\bigg) \\ &=\frac{1}{2}R_{ab}{}^{fg}\bigg(M_{fg}\nabla_c\nabla_d\psi+\nabla_cM_{fg}\nabla_d\psi+\nabla_c\nabla_dM_{fg}\psi\bigg)\\ &=\frac{1}{2}R_{ab}{}^{fg}\bigg(2\eta_{cf}\nabla_g\nabla_d\psi+2\nabla_c\eta_{df}\nabla_g\psi+\nabla_c\nabla_d\Sigma_{fg}\psi\bigg)\\ &=R_{abc}{}^{f}\nabla_f\nabla_d\psi+R_{abd}{}^{f}\nabla_c\nabla_f\psi+\frac{1}{2}R_{ab}{}^{fg}\Sigma_{fg}\nabla_c\nabla_d\psi~. \end{align}$$

[1] IL Buchbinder y SM Kuzenko, Ideas and Methods of Supersymmetry and Supergravity, or a Walk Through Superspace , IOP, Bristol (1995) (Edición revisada 1998).