Derivada covariante para campos de espinor

Question

Derivada covariante para campos de espinor

Física
espinores
covarianza
diferenciación
geometría diferencial

acechador

derivadas escalares (spin-0) se expresa como:

\nabla_{i} ϕ = \frac{\partial ϕ}{\partial X_{i}} .

$\nabla_{i} \phi = \frac{\partial \phi}{ \partial x_{i}}.$

Las derivadas vectoriales (espín-1) se expresan como:

\nabla_{i} V^{k} = \frac{\partial V^{k}}{\partial X_{i}} + Γ_{metro i}^{k} V^{metro} .

$\nabla_{i} V^{k} = \frac{\partial V^{k}}{ \partial x_{i}} + \Gamma^k_{m i} V^m.$

Mi pregunta: ¿Cuál es la expresión para las derivadas covariantes de cantidades de espinor (spin-1/2)?

Respuestas (4)

Derivada covariante para campos de espinor

Lawrence B Crowell · Answer 1

Hay una forma interesante de ver las conexiones de Christoffel con los campos espinores. El operador habitual de Dirac se escribe como $\gamma^\mu\partial_\mu$ . Es interesante cambiar esto a $\partial_\mu(\gamma^\mu\psi)$ . Esto entonces se convierte

\partial_{m} (γ^{m} ψ) = γ^{m} \partial_{m} + (\partial_{m} γ^{m}) ψ .

$\partial_\mu(\gamma^\mu\psi)~=~ \gamma^\mu\partial_\mu~+~(\partial_\mu\gamma^\mu)\psi.$ el anticonmutador

{γ^{μ}, γ^{ν}} = 2 g^{μ ν}

$\{\gamma^\mu,~\gamma^\nu\}~=~2g^{\mu\nu}$ y la constancia covariante de la métrica da

\partial_{μ} γ^{μ} = Γ_{μ σ}^{μ} γ^{σ}

$\partial_\mu\gamma^\mu~=~\Gamma^\mu_{\mu\sigma}\gamma^\sigma$ . Entonces podemos escribir el operador de Dirac en esta forma diferente como

d_{v}^{m} \partial_{m} (γ^{v} ψ) = d_{v}^{m} γ^{v} \partial_{m} ψ + d_{v}^{m} Γ_{m σ}^{v} γ^{σ} ψ .

$\delta_\nu^\mu\partial_\mu(\gamma^\nu\psi)~=~ \delta^\mu_\nu \gamma^\nu\partial_\mu\psi~+~\delta^\mu_\nu \Gamma^\nu_{\mu\sigma}\gamma^\sigma\psi.$ Ahora, si quitas el delta de Kronecker, tienes una derivada covariante del campo de espinor.

Lo que esto significa es que, en general, el álgebra de Clifford $CL(3,1)$ la representación de las matrices de Dirac es local. Entonces, el coeficiente de conexión puede verse como debido a funciones de transición entre estas representaciones, por lo que el diferencial produce coeficientes de conexión.

usuario346 · Answer 2

Para la derivada covariante del espinor necesitamos introducir una conexión que pueda transportar en paralelo un espinor. Tal conexión toma valores en el álgebra de Lie del grupo bajo el cual se transforma el espinor. Entonces tenemos:

D_{i} ψ = \partial_{i} ψ + gramo A_{i}^{yo} T_{yo} ψ

$D_i \psi = \partial_i \psi + g A_i^I T_I \psi$

Aquí $T_I$ son los generadores del álgebra de mentira y tienen valores matriciales. Hemos suprimido los índices espinoriales. Escribiéndolos explícitamente obtenemos:

D_{i} ψ_{a} = \partial_{i} ψ_{a} + gramo A_{i yo} T^{yo}_{a}^{b} ψ_{b}

$D_i \psi_a = \partial_i \psi_a + g A_{i\,I} T^I{}_a{}^b \psi_b$

Por ej., por $SU(2)$ los generadores de álgebra de mentira están dados por las tres matrices de Pauli $\sigma_x,\sigma_y, \sigma_z$ que luego actúan sobre espinores de dos componentes. Si desea trabajar con espinores de cuatro componentes $\psi_A$ , transformándose bajo el grupo de Lorentz, los generadores relevantes son los de $SO(3,1)$ . Puede encontrarlos en Peskin y Schroeder, página 41.

Hay relaciones entre la conexión de espín, la conexión de Christoffel y la métrica, pero esta es la definición de la conexión de espín.

para espinores de cuatro componentes, creo que usamos una combinación lineal de generadores de Lorentz que parecen $SU(2) \bigoplus SU(2)$ , ahora mismo no recuerdo donde leí esto
@lurscher - sí, puedes factorizar $so(3,1)$ en dos copias de $su(2)$ (estamos hablando de las álgebras de mentira, no de los grupos, eso sí). Esto se da de nuevo en el cap. 3 de Peskin. Odiaba ese libro al principio. Pero crece en ti como la cerveza o el caviar :)
@lurscher: tienes razón (y @Deepak también). Y déjame aprovechar esta oportunidad para aclararte esta afirmación al mostrarte los diagramas de Dynkin de estas álgebras. $\mathfrak{so}(1,3)$ es $D_2$ y $\mathfrak{su}(2)$ es $A_1$ . Como puede ver, dos puntos es el doble que un punto. QED :)

QGR · Answer 3

Antes de que pueda introducir paquetes de espinores en el espacio-tiempo curvo, primero debemos introducir vierbeins. Esto define un marco ortonormal local. Si lo desea, puede introducir un paquete de marco principal con $Spin(d,1)$ como el grupo de calibre. Los espinores se pueden definir con respecto a este marco. La clave es que los espinores son representaciones de $Spin(d,1)$ , una doble cubierta de $SO(d,1)$ , pero no del grupo lineal general $GL(d+1,\mathbf{R})$ . La conexión afín es una conexión sobre el último grupo, pero asumiendo la metricidad, podemos mapearla en una conexión de espín sobre el primer grupo de principios.

Vladímir Kalitvianski · Answer 4

Me gustaría que preste atención a que esta forma de introducir "interacción" solo es buena para describir campos externos (que pueden activarse y desactivarse físicamente). Esta forma de acoplamiento con el campo adecuado (que nunca se puede apagar) no es buena y necesita resolver las divergencias de IR y UV si se implementa. Después de las renormalizaciones y la suma del diagrama IR, el verdadero acoplamiento con el campo propio es diferente de la "derivada covariante".

Derivada covariante para campos de espinor

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Lawrence B Crowell

usuario346

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Marek

craig

QGR

Vladímir Kalitvianski

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