Ecuación de onda espacial de cantidad de movimiento de partículas libres: factores constantes

Question

Ecuación de onda espacial de cantidad de movimiento de partículas libres: factores constantes

Maullar

Estoy tratando de resolver el problema 3.12 en "Introduction to Quantum Mechanics 3rd ed" de DJ Griffiths; es como sigue:

Encuentre [la ecuación de onda espacial de cantidad de movimiento] $\Phi(p,t)$ para la partícula libre en términos de $\phi(k)$ .

$\phi(k)$ se define en la ecuación de onda espacial de posición 1D de la partícula libre

Ψ (X, t) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} ϕ (k) {mi}^{i k X} {mi}^{- i \frac{ℏ k^{2}}{2 metro} t} d k

$\Psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{+\infty}_{-\infty}\phi(k)e^{ikx}e^{-i\frac{\hbar k^2}{2m}t}dk$

como

ϕ (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} Ψ (X, 0) {mi}^{- i k X} d X

$\phi(k) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{+\infty}_{-\infty}\Psi(x,0)e^{-ikx}dx$

Es decir, si usamos la definición de la transformada de Fourier donde $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\mp ikx}$ se usa en los integrandos para las transformadas de Fourier e inversa de Fourier respectivamente (siempre me enseñaron $e^{\mp 2\pi isx}$ , pero seguiré con la escala de Griffiths), entonces $\phi(k)$ es realmente solo la transformada de Fourier para el estado inicial de la ecuación de onda en el espacio de posiciones.

Ahora, el problema al que me enfrento es el siguiente: si uso la forma de convertir de Griffiths $\Psi(x,t)$ a $\Phi(p,t)$ (ecuación de onda del espacio de posición al espacio de impulso), es decir

Φ (pag, t) = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \int_{- \infty}^{+ \infty} Ψ (X, t) {mi}^{- i \frac{pag}{ℏ} X} d X

$\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int^{+\infty}_{-\infty}\Psi(x,t)e^{-i\frac{p}{\hbar}x}dx$

yo obtengo

Φ (pag, t) = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \int_{- \infty}^{+ \infty} (\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} ϕ (k) {mi}^{i k X} {mi}^{- i \frac{ℏ k^{2}}{2 metro} t} d k) {mi}^{- i \frac{pag}{ℏ} X} d X

$\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int^{+\infty}_{-\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{+\infty}_{-\infty}\phi(k)e^{ikx}e^{-i\frac{\hbar k^2}{2m}t}dk\right)e^{-i\frac{p}{\hbar}x}dx$

Mi intuición dice que las dos exponenciales deberían cancelarse, por lo que la única forma que veo de simplificar la expresión es si asumo que $p=\hbar k$ (Trato de tener mucho cuidado con esta sustitución, porque a menudo causa problemas con factores constantes). Yo obtengo:

Φ (pag, t) = \frac{1}{\sqrt{ℏ}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} (\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{+ \infty} ϕ (\frac{pag}{ℏ}) {mi}^{i \frac{pag}{ℏ} X} {mi}^{- i \frac{{pag}^{2}}{2 metro ℏ} t} d (\frac{pag}{ℏ})) {mi}^{- i \frac{pag}{ℏ} X} d X

$\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{\hbar}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{+\infty}_{-\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{+\infty}_{-\infty}\phi\left(\frac{p}{\hbar}\right)e^{i\frac{p}{\hbar}x}e^{-i\frac{p^2}{2m\hbar}t}d\left(\frac{p}{\hbar}\right)\right)e^{-i\frac{p}{\hbar}x}dx$

La integral interna realiza una transformada inversa de Fourier, la externa una transformada de Fourier, por lo que se cancelan, para obtener:

Φ (pag, t) = \frac{1}{\sqrt{ℏ}} ϕ (\frac{pag}{ℏ}) {mi}^{- i \frac{mi}{ℏ} t}

$\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{\hbar}} \phi\left(\frac{p}{\hbar}\right) e^{-i\frac{E}{\hbar}t}$

Esto es bueno y todo, pero he leído y me han dicho antes que $\phi(k)$ es la ecuación de onda espacial de cantidad de movimiento independiente del tiempo similar a $\psi(x)$ , no $\frac{1}{\sqrt{\hbar}}\phi(k)$ . ¿Cuál debería ser el factor de escala? me siento como $p=\hbar k$ no siempre es aplicable, o solo se puede hacer cuando se agregan factores adicionales frente a las integrales de Fourier (incluso si la variable de integración es $x$ y la escala, por lo tanto, no se debe realmente a la sustitución de $dx$ ).

(He mirado aquí , pero no me da ninguna respuesta).

prahar

Esto es incorrecto.

k

$k$ es una variable de integración aquí mientras que

p

$p$ es un parámetro constante. Lo que debe hacer es realizar la integración sobre

x

$x$ primero y luego hacer la integral sobre

k

$k$ .

Respuestas (3)

Ecuación de onda espacial de cantidad de movimiento de partículas libres: factores constantes

Esto es incorrecto. $k$ es una variable de integración aquí mientras que $p$ es un parámetro constante. Lo que debe hacer es realizar la integración sobre $x$ primero y luego hacer la integral sobre $k$ .

ZeroTheHero · Answer 1

El problema es con su uso de variables mixtas. $k$ y $p$ . En primer lugar, lo mejor es pensar en

\begin{aligned} ⟨ X | pag ⟩ & = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} {mi}^{- i pag X / ℏ}, ⟨ pag | X ⟩ = ⟨ X | pag ⟩^{*} = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} {mi}^{+ i pag X / ℏ} \end{aligned}

$\begin{align} \langle x\vert p\rangle &=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-i p x/\hbar}\, ,\qquad \langle p\vert x\rangle = \langle x\vert p\rangle^* =\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{+i p x/\hbar} \end{align}$ lo que justifica la colocación simétrica de los

\sqrt{2 π ℏ}

$\sqrt{2\pi \hbar}$ factor, pero por otro lado

\begin{aligned} ⟨ X | k ⟩ & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} {mi}^{- i k X}, ⟨ k | X ⟩ = ⟨ X | k ⟩^{*} = \frac{1}{\sqrt{2 π}} {mi}^{+ i k X} \end{aligned}

$\begin{align} \langle x\vert k\rangle &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i k x }\, ,\qquad \langle k\vert x\rangle = \langle x\vert k\rangle^* =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{+i k x} \end{align}$ de modo que

\begin{aligned} Ψ (pag, t) & = ⟨ pag | ψ ⟩ = \int d X ⟨ pag | X ⟩ ⟨ X | Ψ (t) ⟩ = \int d X \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} {mi}^{i pag X / ℏ} Ψ (X, t), \\ Ψ (k, t) & = ⟨ k | ψ ⟩ = \int d X ⟨ k | X ⟩ ⟨ X | Ψ (t) ⟩ = \int d X \frac{1}{\sqrt{2 π}} {mi}^{i k X} Ψ (X, t), \\ = \sqrt{ℏ} Ψ (pag, t), \end{aligned}

$\begin{align} \Psi(p,t)&=\langle p\vert \psi\rangle = \int dx \langle p\vert x\rangle \langle x\vert \Psi(t)\rangle = \int dx \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{ipx/\hbar}\Psi(x,t)\, ,\\ \Psi(k,t)&=\langle k\vert \psi\rangle = \int dx \langle k\vert x\rangle \langle x\vert \Psi(t)\rangle = \int dx \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}\Psi(x,t)\, ,\\ &= \sqrt{\hbar} \,\Psi(p,t)\, , \end{align}$ donde el operador de la unidad

\begin{aligned} \hat{1} = \int d X | X ⟩ ⟨ X | \end{aligned}

$\begin{align} \hat 1=\int dx \vert x\rangle \langle x\vert \end{align}$ ha sido usado.

roger vadim · Answer 2

roger vadim

Como @Prahar ha señalado correctamente, hay un error puramente matemático al equiparar la variable de integración $k$ con la variable externa $p$ . Usando dos símbolos diferentes (por ejemplo, $k$ y $k'$ ) sería el enfoque correcto.

Además, la clave de la solución es utilizar la representación de Fourier de la $\delta$ -función (después de cambiar el orden de integración):

\int_{- \infty}^{+ \infty} d X {mi}^{i (k - \frac{pag}{ℏ}) X} = 2 π d (k - \frac{pag}{ℏ}) .

$\int_{-\infty}^{+\infty}dxe^{i(k-\frac{p}{\hbar})x} = 2\pi\delta(k - \frac{p}{\hbar}).$

Tenga en cuenta
que la escala de Griffiths en la transformada de Fourier se usa comúnmente en física, tanto en el espacio ( $k$ ) y en el tiempo ( $\omega$ ) transforma. Además, no se sorprenda al ver los diferenciales escritos justo después del signo de integración, antes del integrando, como he hecho, aunque esto es más típico de la mecánica cuántica.

Maullar

Esta respuesta me ayudó más a darme cuenta de dónde estaba mi error. Sin embargo, sigo obteniendo la misma solución:

Φ (pag, t) = \frac{1}{\sqrt{2 π ℏ}} \frac{1}{\sqrt{2 π} ℏ} \int_{- \infty}^{+ \infty} ϕ (\frac{k^{'}}{ℏ}) {mi}^{- i \frac{k^{' 2}}{2 metro ℏ} t} \cdot [\int_{- \infty}^{+ \infty} {mi}^{i \frac{k^{'} - pag}{ℏ} X} d X] d k^{'}

$\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\hbar}\int^{+\infty}_{-\infty}\phi\left(\frac{k'}{\hbar}\right)e^{-i\frac{k'^2}{2m\hbar}t}\cdot\left[\int^{+\infty}_{-\infty}e^{i\frac{k'-p}{\hbar}x}dx\right]dk'$

= \frac{1}{\sqrt{ℏ}} \int_{- \infty}^{+ \infty} ϕ (k) {mi}^{- i \frac{ℏ k^{2}}{2 metro} t} d (k - \frac{pag}{ℏ}) d k

$= \frac{1}{\sqrt{\hbar}}\int^{+\infty}_{-\infty}\phi(k)e^{-i\frac{\hbar k^2}{2m}t}\delta(k-\frac{p}{\hbar})dk$ El factor restante parece coincidir con lo que decía @ZeroTheHero, pero no sé cómo podría obtener una solución si

p

$p$ en lugar de

p / ℏ

$p/\hbar$ .

roger vadim

@Mew se trata de convertir la variable de una función de probabilidad. La probabilidad de cantidad de movimiento en el intervalo

[p, p + d p]

$[p, p+dp]$ es

| Φ (pag, t) |^{2} d pag = | Φ (k, t) |^{2} d k = | Φ (k, t) |^{2} d \frac{pag}{ℏ},

$|\Phi(p,t)|^2dp = |\Phi(k,t)|^2dk = |\Phi(k,t)|^2d\frac{p}{\hbar},$ eso es

| Φ (pag, t) |^{2} = \frac{1}{ℏ} | Φ (k, t) |^{2},

$|\Phi(p,t)|^2 = \frac{1}{\hbar}|\Phi(k,t)|^2,$ y por lo tanto

Φ (pag, t) = \frac{1}{\sqrt{ℏ}} Φ (k, t) .

$\Phi(p,t) = \frac{1}{\sqrt{\hbar}}\Phi(k,t).$

biofísico · Answer 3

Impulso $p$ y número de onda $k$ de hecho están relacionados por $p=\hbar k$ . Debido a que solo difieren en una constante, generalmente se considera que ambos describen el impulso de los sistemas cuánticos (especialmente si trabaja con $\hbar=1$ ).

Tenga en cuenta que esto se sigue directamente de la relación de De Broglie $p=hf=2\pi\hbar/\lambda=\hbar k$ ,

Ecuación de onda espacial de cantidad de movimiento de partículas libres: factores constantes

Maullar

prahar

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ZeroTheHero

roger vadim

Maullar

roger vadim

biofísico

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