¿Por qué un signo menos en el operador de posición?

Es un poco más sutil, y esta sutileza es importante aquí.

La definición de un operador es que , al actuar sobre una función de onda, el operador determina el valor esperado de su correspondiente cantidad física :

$$\langle \hat{O}\rangle =\int dx \Psi(x)^*\hat{O}\Psi(x).$$ Por lo tanto, al igual que la función de onda, el operador tiene diferentes formas en diferentes representaciones.

Comencemos con la expectativa de posición en la representación de posición :

$$\langle x\rangle = \int dx x|\Psi(x)|^2 = \int dx \Psi(x)^*x\Psi(x).$$ Fácilmente leemos el operador de posición de esta expresión como $$\hat{x}=x.$$ El operador de cantidad de movimiento en esta representación está dado por$\hat{p}=-i\hbar\partial_x$, como puede comprobarse considerando su acción sobre un estado con cantidad de movimiento definida: $$\psi_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{i\frac{px}{\hbar}}.$$ Tenga en cuenta que el signo menos en este operador es una cuestión de convención: si definimos las ondas planas como$\psi_p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-i\frac{px}{\hbar}}$, tendríamos que elegir$\hat{p}=i\hbar\partial_x$.

Veamos ahora la representación del impulso . La función de onda en la representación de momento dada por

$$\Phi(p)= \int dx \psi_p(x)^*\Psi(x).$$ Ahora$|\Phi(p)|^2$es la densidad de probabilidad para los estados de momento y el operador de momento es simplemente$\hat{p}=p$, como sigue de $$\langle p\rangle = \int dp p|\Phi(p)|^2 = \int dp \Phi(p)^*p\Phi(p).$$ Para el operador de posición tenemos $$\langle x\rangle = \int dp \Phi(p)^*\hat{x}\Phi(p)= \int dp \int dx \Psi(x)^*\psi_p(x)\hat{x}\int dx'\psi_p(x')^*\Psi(x) = \int dx \Psi(x)^*x\Psi(x),$$ donde el operador de posición tiene que ser definido de tal manera que $$\int dp \psi_p(x)\hat{x}\psi_p(x')^* = \frac{1}{2\pi}\int dp e^{i\frac{px}{\hbar}}\hat{x}e^{-i\frac{px}{\hbar}} x\delta(x-x').$$ Elegir$\hat{x} = i\hbar\partial_p$cumplimos esta condición. El signo del operador de posición es diferente al signo del operador de cantidad de movimiento. Si, como mencioné al principio, definimos la onda plana con cantidad de movimiento$p$como$e^{-i\frac{px}{\hbar}}$, los signos de ambos operadores serían diferentes.

Para resumir:

• En la representación del puesto:$\hat{x}=x, \hat{p}=-i\hbar\partial_x$.
• En la representación del momento:$\hat{x}=i\hbar\partial_p, \hat{p}=p$
• Los signos antes de las derivadas en las expresiones anteriores son siempre opuestos, pero dependen de cómo definamos la onda plana con cantidad de movimiento definida.

Las distribuciones de posición y momento están conectadas por la transformada de Fourier:$\frac{1}{(2\pi)^{1/2}}\exp(ixp /\hbar)$es el vector base en el espacio de posiciones y$\frac{1}{(2\pi)^{1/2}}\exp(-ixp /\hbar)$es el vector base en el espacio de cantidad de movimiento.

Tenga en cuenta las siguientes relaciones del análisis de Fourier y la mecánica cuántica:

$$-i\frac{d}{d x}f(x)=\frac{1}{(2\pi)^{1/2}}\int_{\mathbb{R^3}}kg(k)\exp(ixk)dk$$ y $$p=\hbar k.$$

Ahora puede hacer el valor esperado integral habitual para el momento en el espacio de momento y traducirlo al espacio de posición.

Probablemente, la forma más clara de verificar el resultado es escribir el operador explícitamente en notación ket en términos de la base del momento (con$\hbar=1)$

$$X = \int d^3p |p\rangle i\frac \partial{\partial p} \langle p|$$ y aplicar esto a un estado de posición $$\begin{align} X|x\rangle &= \int d^3p |p\rangle i\frac \partial{\partial p} \langle p|x\rangle \\ & = \frac 1{(2\pi)^{3/2}}\int d^3p |p\rangle i\frac \partial{\partial p} e^{-ip\cdot x}\\ & = \frac 1{(2\pi)^{3/2}}\int d^3p |p\rangle x e^{-ip\cdot x}\\ & = x \int d^3p |p\rangle \langle p|x\rangle\\ & = x |x\rangle\\ \end{align}$$ donde la resolución de la unidad $$1 = \int d^3 p|p\rangle \langle p|$$ ha sido usado. Se ve que el signo menos proviene del conjugado,$\langle p|x\rangle$en vez de$\langle x|p\rangle$, como lo haríamos con el operador de cantidad de movimiento. Más generalmente, el operador de posición se puede escribir $$X = \int d^3x |x\rangle x \langle x|$$ Entonces $$\begin{align} X &= \int d^3 p \int d^3 q \int d^3x |p\rangle \langle p|x\rangle x \langle x |q\rangle \langle q|\\ &= \frac 1{(2\pi)^{3}}\int d^3 p \int d^3 q\int d^3x |p\rangle e^{-ip\cdot x}x e^{iq\cdot x} \langle q|\\ &= \frac 1{(2\pi)^{3}}\int d^3 p \int d^3 q\int d^3x |p\rangle i \frac\partial{\partial p} e^{i(q-p)\cdot x} \langle q|\\ &= \int d^3 p \int d^3 q |p\rangle i \frac\partial{\partial p} \delta (q-p) \langle q|\\ &= \int d^3 p |p\rangle i \frac\partial{\partial p} \langle p|\\ \end{align}$$