Producto interno de los elementos propios de posición y momento

definamos q ^ ,   pag ^ los operadores cuánticos de posición y momento, a ^ el operador de aniquilación y a ^ 1 ,   a ^ 2 con su parte real e imaginaria, tal que

a ^ = a ^ 1 + j a ^ 2
con
a ^ 1 = ω 2 ℏ q ^ ,   a ^ 2 = 1 2 ℏ ω pag ^
(para una referencia, ver Shapiro Lectures on Quantum Optical Communication, lect.4 )

Definir | a 1 ⟩ ,   | a 2 ⟩ ,   | q ⟩ ,   | pag ⟩ el automercado del operador a ^ 1 ,   a ^ 2 ,   q ^ ,   pag ^ respectivamente.

Por la conferencia, sé que

⟨ a 2 | a 1 ⟩ = 1 π mi − 2 j a 1 a 2
pero no entiendo como obtener
⟨ pag | q ⟩ = 1 2 π ℏ mi − j ℏ q pag

Pensé que con una sustitución variable sería suficiente, pero sustituyendo a 1 = ω 2 ℏ q ,   a 2 = 1 2 ℏ ω pag , Yo obtengo

1 π mi − j ℏ q pag
que no tiene el factor correcto 1 2 π ℏ .

¿Qué me estoy perdiendo?

De qué depende ⟨ pag | a i ⟩ y ⟨ q | a i ⟩ son. (No es una prueba, no puedo recordar ahora). Tienes que poner las identidades dentro ⟨ a 1 | a 2 ⟩ , no se puede simplemente sustituir.

Respuestas (1)

Productos escalares internos

Desde a ^ 1 = ω 2 ℏ q ^ , entonces ⟨ a 1 | q ⟩ = norte 1 d ( a 1 − ω 2 ℏ q ) .

También, desde a ^ 2 = 1 2 ℏ ω pag ^ , entonces ⟨ a 2 | pag ⟩ = norte 2 d ( a 2 − 1 2 ℏ ω pag ) .

Constantes de normalización

Usaremos esta propiedad: ∫ d X d ( α X − y ) F ( X ) = F ( y α ) α .

si preguntamos eso | a 1 ⟩ están normalizados, estamos pidiendo que

d ( a 1 − a ¯ 2 ) = ⟨ a 1 | a ¯ 1 ⟩ = ∫ d q ⟨ a 1 | q ⟩ ⟨ q | a ¯ 1 ⟩ = ∫ d q | norte 1 | 2 d ( a 1 − ω 2 ℏ q ) d ( a ¯ 1 − ω 2 ℏ q ) .

Entonces, norte 1 = ( ω 2 ℏ ) 1 4 .

haciendo lo mismo por | a 2 ⟩ Entonces obtuvimos que:

⟨ a 1 | q ⟩ = ( ω 2 ℏ ) 1 4 d ( a 1 − ω 2 ℏ q ) .

⟨ a 2 | pag ⟩ = ( 1 2 ℏ ω ) 1 4 d ( a 2 − 1 2 ℏ ω pag ) .

Informática ⟨ pag | q ⟩

Entonces, como sabes, ⟨ pag | q ⟩ = ∫ d a 1 d a 2 ⟨ pag | a 2 ⟩ ⟨ a 2 | a 1 ⟩ ⟨ a 1 | q ⟩ .

Esto podría ser suficiente para que encuentres la solución adecuada.

Si resuelvo la integral que pones, obtengo
1 π mi − j π q pag
-si lo hago bien - que no tiene el factor correcto 1 2 π ℏ (Acabo de editar la pregunta para aclarar).
¿Utilizó la propiedad del delta de Dirac calculada sobre x multiplicada por una constante?
∫ F ( X ) d ( α X ) = F ( 0 ) α ?
Oh si y con este mismo truco encontraras que ⟨ a 1 | pag ⟩ y ⟨ a 2 | q ⟩ tener un factor de normalización
@Nicola, edité mi respuesta teniendo en cuenta la propiedad delta de dirac.
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