Estaba leyendo un libro sobre mecánica cuántica teórica y los autores introdujeron el operador de momento angular (orbital) como el operador que genera rotaciones alrededor de un eje (arbitrario). Para ello, primero demostraron que cualquier matriz rotacional correspondiente a una rotación de ángulo theta alrededor de un eje e puede escribirse como:
dónde es una matriz sesgada simétrica.
Luego procedieron a examinar cómo un operador unitario correspondiente a una rotación actúa sobre la función de onda y finalmente relacionaron los dos usando la fórmula:
que pidieron al lector que probara. He estado tratando de probar el resultado (simplemente diferenciando el lado izquierdo de la ecuación con respecto a theta) durante bastante tiempo, pero desafortunadamente no estoy llegando a ninguna parte. Tal vez es solo un simple truco que me estoy perdiendo.
De todos modos, estaría agradecido por cualquier sugerencia o pista.
La cuestión es que verificar esto en coordenadas cartesianas a mano puede complicarse muy rápido. Si realmente quiere hacerlo, puede probar las coordenadas esféricas y considerar solo una rotación alrededor del eje. Entonces la rotación aplicado en , con y , simplemente hace . Entonces su declaración se puede escribir como
Entonces puede argumentar que esto cubre el caso general, ya que uno puede usar un sistema de coordenadas adaptado a la rotación de modo que el eje de rotación coincida con el eje. Esto se basa en el hecho de que cualquier rotación se puede escribir en la parametrización del eje del ángulo.