Conmutación del operador de momento angular [cerrado]

Asumo$\hbar=1$.

$$\hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p}= \frac{1}{2}\hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p}+ \frac{1}{2}\hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p} = \frac{1}{2}\left(\hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p} + \hat{\bf p}\cdot \hat{\bf x}\right) + 3i I = \frac{1}{2}\left[(\hat{\bf x} + \hat{\bf p})^2 - \hat{\bf x}^2 - \hat{\bf p}^2\right] + 3 i I\:.$$ El término más a la derecha conmuta con$\hat{L}_i$porque es una suma de cuatro escalares bajo rotaciones. Otro enfoque (que no es el cálculo directo descrito en la otra respuesta) es $$e^{-i \theta L_i} \hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p} e^{i \theta L_i}= e^{-i \theta L_i} \hat{\bf x} e^{i \theta L_i} e^{-i \theta L_i}\cdot \hat{\bf p} e^{i \theta L_i} = (R_\theta \hat{\bf x}) \cdot (R_\theta \hat{\bf p})= \hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p}$$ dónde$R_\theta$es la rotación de$SO(3)$alrededor${\bf e}_i$del ángulo$\theta$. Tomando el fuerte derivado$\theta=0$de ambos lados de $$e^{-i \theta L_i} \hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p} e^{i \theta L_i}= \hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p}$$ tenemos $$[L_i,\hat{\bf x}\cdot \hat{\bf p} ]=0\:.$$

Puede calcular directamente la relación de conmutación$[L_i,x_jp_j]$. La regla de Leibniz iguala esto a$[L_i,x_j]p_j+x_j[L_i,p_j]$.

Escrito en su totalidad, esto es$\epsilon_{ilm}[x_lp_m,x_j]p_j+x_j\epsilon_{ilm}[x_lp_m,p_j]$.

Ahora solo usa la regla de Leibniz nuevamente ($[A,BC]=B[A,C]+[A,B]C$) y las relaciones canónicas de conmutación ($[x_a,x_b]=[p_a,p_b]=0$y$[x_a,p_b]=i \hbar \delta_{ab}$).