Identidad complicada del operador: [L2,[L2,r⃗ ]]=2ℏ2{L2,r⃗ }[L2,[L2,r→]]=2ℏ2{L2,r→}[L^2,[L^2,\vec {r}]]=2 \hbar ^2 \{L^2, \vec{r}\}?

Question

Identidad complicada del operador: [L2,[L2,r⃗ ]]=2ℏ2{L2,r⃗ }[L2,[L2,r→]]=2ℏ2{L2,r→}[L^2,[L^2,\vec {r}]]=2 \hbar ^2 \{L^2, \vec{r}\}?

Fiesta de la columna vertebral

La identidad de este operador apareció en un curso que estaba tomando y se me dio sin pruebas.

[L^{2}, [L^{2}, \vec{r}]] = 2 ℏ^{2} {L^{2}, \vec{r}}

$[L^2,[L^2,\vec{r}]]=2 \hbar ^2 \{ L^2, \vec{r}\}$

Los corchetes denotan el anticonmutador, $AB+BA$ . El $\vec{r}$ operador es el operador de posición. El $L^2$ operador viene dado por:

L^{2} = - ℏ^{2} (\frac{1}{pecado θ} \frac{\partial}{\partial θ} (pecado θ \frac{\partial}{\partial θ}) + \frac{1}{{pecado}^{2} θ} \frac{\partial^{2}}{\partial ϕ^{2}})

$L^2 = -\hbar ^2 \left( \frac{1}{\sin \theta} {\partial\over\partial\theta} (\sin \theta {\partial\over\partial\theta}) + \frac{1}{\sin^2 \theta} {\partial^2\over\partial\phi^2}\right)$

¿Hay alguna manera de probar esta identidad sin expandir tediosamente todos los conmutadores? He estado tratando de encontrar uno pero no pude.

joshfísica

Para aclarar, ¿su notación aquí es tal que

r = \sqrt{x \cdot x}

$r=\sqrt{\mathbf x\cdot\mathbf x}$ ?

BMS

es la otra opcion que

r

$r$ representa

x

$x$ ,

y

$y$ , o

z

$z$ ?

presión

r = \sqrt{\vec{x} \cdot \vec{x}}

$r=\sqrt{\vec x \cdot \vec x}$ no tendría sentido, porque

[L^{2}, r] = 0]

$[L^2,r]=0]$ . entonces que es

r

$r$ ?

joshfísica

@presion De acuerdo. De ahí mi intento de obtener una aclaración.

Fiesta de la columna vertebral

Es el operador de posición en coordenadas esféricas, por lo que deduzco.

Zoltán Zimboras

@DepeHb Sí, en las anotaciones habituales significaría eso (y eso también es lo que asumió Joshphysics en su comentario). Sin embargo, como señaló correctamente Pressure, en este caso

[L^{2}, r] = 0

$[L^2, r]=0$ - y la identidad no se mantendría.

Fiesta de la columna vertebral

Hm.. No estoy seguro entonces - en mis notas aparece como un

\vec{r}

$\vec{r}$ , lo que además me hizo creer que era el operador de posición, pero aparentemente no. no se, que puede ser?

Motl de Luboš

definitivamente es

\vec{r}

$\vec r$ , la identidad es correcta con eso. No importa qué coordenadas uses; la identidad es correcta en todas las coordenadas.

Zoltán Zimboras

Bien, así fue

\vec{r}

$\vec{r}$ no

r

$r$ , entonces está claro. Gracias por cambiar también la pregunta para resaltar la fórmula correcta.

Respuestas (2)

Identidad complicada del operador: [L2,[L2,r⃗ ]]=2ℏ2{L2,r⃗ }[L2,[L2,r→]]=2ℏ2{L2,r→}[L^2,[L^2,\vec {r}]]=2 \hbar ^2 \{L^2, \vec{r}\}?

Para aclarar, ¿su notación aquí es tal que $r=\sqrt{\mathbf x\cdot\mathbf x}$ ?
$r=\sqrt{\vec x \cdot \vec x}$ no tendría sentido, porque $[L^2,r]=0]$ . entonces que es $r$ ?
@presion De acuerdo. De ahí mi intento de obtener una aclaración.
Es el operador de posición en coordenadas esféricas, por lo que deduzco.
@DepeHb Sí, en las anotaciones habituales significaría eso (y eso también es lo que asumió Joshphysics en su comentario). Sin embargo, como señaló correctamente Pressure, en este caso $[L^2, r]=0$ - y la identidad no se mantendría.
Hm.. No estoy seguro entonces - en mis notas aparece como un $\vec{r}$ , lo que además me hizo creer que era el operador de posición, pero aparentemente no. no se, que puede ser?
definitivamente es $\vec r$ , la identidad es correcta con eso. No importa qué coordenadas uses; la identidad es correcta en todas las coordenadas.
Bien, así fue $\vec{r}$ no $r$ , entonces está claro. Gracias por cambiar también la pregunta para resaltar la fórmula correcta.

Motl de Luboš · Answer 1

El símbolo $r$ en la identidad representa (y representará en el texto a continuación) todo el vector de operadores de tres componentes $\hat{\vec r} = (\hat x, \hat y, \hat z)$ .

La forma simple que encontré para probar la identidad es verificar que todos los elementos de la matriz de ambos lados coincidan. Calculemos los elementos de la matriz de los operadores. $LHS,RHS$ entre

⟨ j, metro, a | L H S | k, norte, b ⟩

$\langle j,m,a| LHS| k,n,b\rangle$ y lo mismo para el lado derecho. Aquí,

j, m

$j,m$ y

k, n

$k,n$ son los momentos angulares totales habituales (que asumiré que son números enteros, solo el caso del momento angular orbital) y el

z

$z$ -componente y

a, b

$a,b$ representan los otros números cuánticos que no importarán.

La ventaja es que $\vec L$ se combinan para $L^2$ Casi en cualquier parte. El operador del lado izquierdo es

L^{2} L^{2} r - 2 L^{2} r L^{2} + r L^{2} L^{2}

$L^2 L^2 r - 2 L^2 r L^2 + r L^2 L^2$ por lo que el elemento de la matriz (porque

L^{2}

$L^2$ actúa sobre el vector bra o ket de una manera simple) es el mismo que el elemento de la matriz de

ℏ^{4} r [j (j + 1) j (j + 1) - 2 j (j + 1) k (k + 1) + k (k + 1) k (k + 1)]

$\hbar^4 r[ j(j+1)j(j+1) - 2j(j+1)k(k+1) + k(k+1)k(k+1)]$ El coeficiente entre paréntesis es igual a un cuadrado completo,

ℏ^{4} r [j (j + 1) - k (k + 1)]^{2}

$\hbar^4 r [j(j+1)-k(k+1)]^2$ Tenga en cuenta que

ℏ^{4} r

$\hbar^4 r$ es en todos los términos. El lado derecho tiene los mismos elementos de matriz que el operador.

2 ℏ^{4} r [j (j + 1) + k (k + 1)]

$2\hbar^4 r [j(j+1) + k(k+1)]$ No parecen "obviamente" iguales: uno es cuadrático, uno es cuadrático. Pero debemos darnos cuenta de que los operadores en ambos lados son

j = 1

$j=1$ operadores vectoriales, de la

\vec{r}

$\vec r$ factor, por lo que sólo cambian el momento angular por cero o

\pm 1

$\pm 1$ .

Entonces es suficiente comparar las expresiones de estas tres opciones; para mayores cambios de $j$ , los elementos de la matriz en ambos lados desaparecen claramente (y por lo tanto son iguales). Para $j=k$ , el elemento de la matriz desaparece debido a la paridad: $r$ lleva la paridad negativa mientras que las paridades $(-1)^l$ son $(-1)^j$ o $(-1)^k$ para los vectores bra/ket.

Para $j=k+1$ , el lado izquierdo es

ℏ^{4} r (k + 1)^{2} (k + 2 - k)^{2} = 4 ℏ^{2} r (k + 1)^{2}

$\hbar^4 r (k+1)^2 (k+2 - k)^2 = 4\hbar^2 r (k+1)^2$ mientras que el RHS es

2 ℏ^{4} r [(k + 1) (k + 2) + k (k + 1)] = 4 ℏ^{4} r (k + 1)^{2}

$2\hbar^4 r[(k+1)(k+2)+k(k+1)]= 4\hbar^4 r(k+1)^2$ entonces funciona La misma verificación se aplica al caso.

k = j + 1

$k=j+1$ , también, solo

j, k

$j,k$ se intercambian.

Hay muchas otras formas de calcular o verificar la identidad, pero encontré esta más fácil. Tenga en cuenta que no asumo ninguna coordenada; el cálculo abstracto anterior funciona en cualquier coordenada.

qmecanico · Answer 2

I) Para el registro, aquí está el cálculo del operador que OP quiere evitar. El beneficio del cálculo es que los operadores no están intercalados con ninguna representación de bra/ket y, por lo tanto, no tenemos que preocuparnos de si la representación de bra/ket es fiel. vamos a poner $\hbar=1$ por simplicidad. El punto de partida es el CCR

\begin{matrix} (1) & [X^{i}, {pag}_{j}] = i d_{j}^{i} . \end{matrix}

$[x^i, p_j]~=~\mathrm{i}\delta^i_j .\tag{1}$

El CCR (1) asegura que la definición del operador de momento angular orbital

\begin{matrix} (2) & L_{i} := ε_{i j k} X^{j} {pag}_{k} \overset{(1)}{=} - ε_{i j k} {pag}_{j} X^{k} \end{matrix}

$L_i~:=~\varepsilon_{ijk}~ x^jp_k~\stackrel{(1)}{=}~-\varepsilon_{ijk}~ p_jx^k \tag{2}$ es hermítica y que no sufre de ambigüedades en el ordenamiento de los operadores. En particular, la posición y el momento angular son mutuamente perpendiculares como operadores

\begin{matrix} (3) & X^{i} L_{i} \overset{(2)}{=} 0 \overset{(2)}{=} L_{i} X^{i} . \end{matrix}

$x^i L_i~\stackrel{(2)}{=}~0~\stackrel{(2)}{=}~L_i x^i \tag{3}.$ La convención de suma de Einstein se asume implícitamente en todas partes en esta respuesta.

II) Ahora calculemos el LHS de la identidad de OP.

\begin{matrix} (4) & [L_{i}, X^{j}] = i ε_{i j k} X^{k} \end{matrix}

$[L_i,x^j]~=~\mathrm{i}\varepsilon_{ijk}~ x^k \tag{4}$

⇓

$\Downarrow$

\begin{matrix} (5) & [L^{2}, X^{j}] = {L_{i}, [L_{i}, X^{j}]} \overset{(4)}{=} i ε_{i j k} {L_{i}, X^{k}} \end{matrix}

$[L^2,x^j]~=~\{L_i ,[L_i,x^j]\} ~\stackrel{(4)}{=}~\mathrm{i} \varepsilon_{ijk}~\{L_i ,x^k\} \tag{5}$

⇓

$\Downarrow$

[L^{2}, [L^{2}, X^{j}]] \overset{(5)}{=} i ε_{i j k} {L_{i}, [L^{2}, X^{k}]} \overset{(5)}{=} ε_{i j k} ε_{k ℓ norte} {L_{i}, {L_{ℓ}, X^{norte}}}

$[L^2,[L^2,x^j]]~\stackrel{(5)}{=}~ \mathrm{i} \varepsilon_{ijk}~\{L_i ,[L^2,x^k]\} ~\stackrel{(5)}{=}~ \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{k\ell n}\{L_i , \{L_{\ell} ,x^n\} \}$

\begin{matrix} (6) & = (d_{i ℓ} d_{j norte} - d_{j ℓ} d_{i norte}) {L_{i}, {L_{ℓ}, X^{norte}}} = {L_{i}, {L_{i}, X^{j}}} - A_{j}, \end{matrix}

$~=~ \left(\delta_{i\ell}\delta_{jn} -\delta_{j\ell}\delta_{in} \right)\{L_i , \{L_{\ell} ,x^n\} \} ~=~ \{L_i , \{L_i ,x^j\} \} -A_j, \tag{6}$ dónde

\begin{matrix} (7) & A_{j} := {L_{i}, {L_{j}, X^{i}}} \overset{(3)}{=} [L_{i}, [L_{j}, X^{i}]] \overset{(4)}{=} i ε_{i j k} [L_{i}, X^{k}] \overset{(4)}{=} ε_{j i k} ε_{i k ℓ} X^{ℓ} = 2 X^{j} . \end{matrix}

$A_j~:=~ \{L_i , \{L_j ,x^i\} \} ~\stackrel{(3)}{=}~ [L_i , [L_j ,x^i] ] ~\stackrel{(4)}{=}~ \mathrm{i}\varepsilon_{ijk}[L_i ,x^k ] ~\stackrel{(4)}{=}~ \varepsilon_{jik}\varepsilon_{ik\ell}~x^{\ell}~=~2x^j .\tag{7}$

III) Por otro lado, el RHS produce

\begin{matrix} (8) & 2 {L^{2}, X^{j}} = L_{i} ({L_{i}, X^{j}} + [L_{i}, X^{j}]) + ({X^{j}, L_{i}} + [X^{j}, L_{i}]) L_{i} = {L_{i}, {L_{i}, X^{j}}} + B_{j}, \end{matrix}

$2\{L^2, x^j\}~=~L_i \left( \{ L_i, x^j\} + [ L_i, x^j] \right)+\left( \{ x^j, L_i \} + [ x^j, L_i ] \right) L_i ~=~ \{L_i , \{L_i ,x^j\} \} +B_j,\tag{8}$

dónde

\begin{matrix} (9) & B_{j} := L_{i} [L_{i}, X^{j}] + [X^{j}, L_{i}] L_{i} \overset{(4)}{=} i ε_{i j k} [L_{i}, X^{k}] \overset{(4)}{=} - ε_{i j k} ε_{i k ℓ} X^{ℓ} = - 2 X^{j} . \end{matrix}

$B_j ~:=~ L_i[ L_i, x^j] +[ x^j, L_i ]L_i ~\stackrel{(4)}{=}~\mathrm{i}\varepsilon_{ijk}[L_i,x^k] ~\stackrel{(4)}{=}~-\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ik\ell}~x^{\ell}~=~-2x^j. \tag{9}$

IV) Comparando el LHS y el RHS, obtenemos la identidad buscada de OP

\begin{matrix} (10) & [L^{2}, [L^{2}, X^{j}]] = 2 {L^{2}, X^{j}} . \end{matrix}

$[L^2,[L^2,x^j]]~=~2\{L^2, x^j\} . \tag{10}$

Identidad complicada del operador: [L2,[L2,r⃗ ]]=2ℏ2{L2,r⃗ }[L2,[L2,r→]]=2ℏ2{L2,r→}[L^2,[L^2,\vec {r}]]=2 \hbar ^2 \{L^2, \vec{r}\}?

Fiesta de la columna vertebral

joshfísica

BMS

presión

joshfísica

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Fiesta de la columna vertebral

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