¿Por qué se desplaza [xpy,x][xpy,x][xp_{y},x]?

Question

¿Por qué se desplaza [xpy,x][xpy,x][xp_{y},x]?

curiosoGeorge119

Estoy buscando una solución en mi libro que dice $[xp_{y},x]$ conmuta
¿La notación entre paréntesis implica:

$[A,B]=AB-BA$

de modo que

$[xp_{y},x]=xp_{y}x-xxp_{y}$

Tomando el comentario de Max Graves y resolviendo una relación de conmutación ligeramente diferente:

\begin{aligned} - [y {pag}_{X}, X] F & = y i ℏ \frac{\partial}{\partial X} (X F) - X y i ℏ \\ = i ℏ y ((X \frac{\partial F}{\partial X} - \frac{\partial X}{\partial X} F) - X \frac{\partial F}{\partial X}) \\ = y i ℏ (X \frac{\partial F}{\partial X} + F - X \frac{\partial F}{\partial X}) \\ = y i ℏ F \Rightarrow - [y {pag}_{X}, X] = y i ℏ \end{aligned}

$\begin{align} -[yp_{x},x]f &= yi\hbar\frac{\partial}{\partial x}(xf)-xyi\hbar \\ &=i\hbar y \bigg( (x\frac{\partial f}{\partial x} -\frac{\partial x}{\partial x}f)-x\frac{\partial f}{\partial x} \bigg) \notag\\ &=yi\hbar \bigg( x\frac{\partial f}{\partial x}+ f-x\frac{\partial f}{\partial x} \bigg) \notag\\ &=yi\hbar f\ \Rightarrow -[yp_{x},x] = yi\hbar \end{align}$ ¿Esto parece correcto? ¿Se cancelan el primer y el último término aunque el orden no sea exactamente el mismo?

códigoycosas

a menudo necesita usar una función de prueba para verificar estas relaciones de conmutación.

códigoycosas

Sí, eso se ve bien. Mira mi edición, la limpié un poco. Pero sí, una vez que terminas derivando un montón de estas relaciones, se vuelve más fácil simplemente no usar una función de prueba, pero la forma más fácil de no cometer un error es insertar una función de prueba simple.

Respuestas (1)

¿Por qué se desplaza [xpy,x][xpy,x][xp_{y},x]?

a menudo necesita usar una función de prueba para verificar estas relaciones de conmutación.
Sí, eso se ve bien. Mira mi edición, la limpié un poco. Pero sí, una vez que terminas derivando un montón de estas relaciones, se vuelve más fácil simplemente no usar una función de prueba, pero la forma más fácil de no cometer un error es insertar una función de prueba simple.

Federico Carta · Answer 1

Es posible que no se moleste en usar una función de prueba aquí. Este problema es tan fácil que puedes resolverlo simplemente usando las propiedades del conmutador.

[X {pag}_{y}, X] = X [{pag}_{y}, X] + [X, X] {pag}_{y}

$[xp_y,x]=x[p_y,x]+[x,x]p_y$

Ahora $[p_y,x]$ se desvanece debido a la relación de conmutación fundamental entre $p_i$ y $x_i$ cual es

[{pag}_{i}, X_{j}] = - i ℏ d_{i j}

$[p_i, x_j]= -i\hbar \delta_{ij}$

Por otro lado $[x,x]=0$ porque cualquier cosa conmuta consigo misma.

Gracias Federico! Entonces $[p_{y},x]$ desaparece porque $i=y$ y $j=x$ y el delta de Kronecker es $0$ cuando $i\neq j$ ?
Exactamente. En estas convenciones $i,j=1,2,3$ y $p_1=p_x$ , $p_y=p_y$ , etc.
@ curiousGeorge119 Por el bien de los intereses, la propiedad que usa Frederico es que el corchete de mentira es una derivación (algo que cumple con la regla de Liebnitz). Las derivaciones siempre forman un álgebra de Lie, y en el caso de dimensión finita el álgebra de Lie de derivaciones $Der(\mathfrak{g})\subset \mathfrak{g}$ del álgebra de mentira $\mathfrak{g} = {\rm Lie}(\mathfrak{G})$ de un grupo de mentiras $\mathfrak{G}$ es el subgrupo de automorfismos de Lie ${\rm Aut}(\mathfrak{G})\subset\mathfrak{G}$ , es decir ${\rm Der}(\mathfrak{g}) = {\rm Lie}({\rm Aut}(\mathfrak{G})$ ; algo más obtuso: ...
@CuriousGeorge119... ${\rm Der}({\rm Lie}(\mathfrak{G})) = {\rm Lie}({\rm Aut}(\mathfrak{G}))$ , ya que sé que estás interesado en estas cosas. Ver en.wikipedia.org/wiki/Derivation_(abstract_algebra)

¿Por qué se desplaza [xpy,x][xpy,x][xp_{y},x]?

curiosoGeorge119

códigoycosas

códigoycosas

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Federico Carta

curiosoGeorge119

Federico Carta

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Selene Routley

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