Demostrar que Li=ϵijkxjpkLi=ϵijkxjpkL_i = \epsilon_{ijk} x_ j p_ k

Lo más sencillo es hacerlo por la fuerza bruta, con$(x,y,z)=(1,2,3)$y usando los valores explícitos $\epsilon_{123}=\epsilon_{231}=\epsilon_{312}=1$,$\epsilon_{213}=\epsilon_{132}=\epsilon_{321}=-1$, con las otras combinaciones$0$.

Entonces, por ejemplo:

$$\begin{align} L_x&=L_1=-i\hbar\epsilon_{1jk}x_j\frac{\partial }{\partial x_k}\, ,\\ &=-i\hbar\left(\epsilon_{123}x_2\frac{\partial }{\partial x_3}+\epsilon_{132} x_3\frac{\partial}{\partial x_2}\right)\, ,\\ &=-i\hbar\left( x_2\frac{\partial }{\partial x_3}-x_3\frac{\partial }{\partial x_2}\right)\, ,\\ &= -i\hbar\left(y\frac{\partial }{\partial z} - z\frac{\partial }{\partial y}\right). \end{align}$$ $L_y$y $L_z$se hacen de la misma manera que $L_x.$

Finalmente, desde$-i\hbar \partial/\partial x_k=p_k$, sigue el último paso.

Esta es la definición del producto cruz: el$i^{th}$componente del producto vectorial entre$x$y$p$es$\epsilon_{i\,j\,k}\,x_j\,p_k$. Como en la respuesta de ZeroTheHero , en realidad no está probando nada aquí, sino simplemente expandiendo la definición.

El área dirigida del paralelogramo definida por$x$y$p$es la forma dos$x\wedge p$. Luego el dual de Hodge, implementado con$\epsilon$convierte este elemento de plano dirigido en un vector, que es equivalente en tres dimensiones porque el vector define completamente el plano al que es normal. Así es como definimos el producto cruz: como una versión "vectorizada" del área dirigida del paralelogramo definida por dos vectores.