1) Hay valores derivados más cuidadosamente asumiendo una distribución de partículas (no tengo la referencia aquí), pero en lugar de considerar todas las partículas distribuidas entre diferentes posiciones iniciales y velocidades, tomémoslas todas iguales al mismo "típico" partícula: la que tiene la velocidad típica, digamos la velocidad mediana$u_x$; también se podría haber utilizado la media en lugar de la mediana. Difieren solo en un factor, que no es realmente importante (ver respuesta (2)).

2) La partícula típica se ha movido la distancia típica antes de cruzar el límite. Se trata$\lambda_{fmp}$, o, quizás mejor,$\lambda \cos{\theta}$. Pero esta es una aproximación muy cruda. He visto derivaciones donde se considera que es$1/2 \lambda$(suponiendo que las moléculas que golpean la unidad de área provienen de todas las distancias entre 0 y λ; igualmente distribuidas), o, calculado con más detalle,$1/3 \lambda$(F. Reif, Física térmica y estadística (McGraw-Hill), Capítulo 12: http://physics.bu.edu/~redner/542/refs/reif-chap12.pdf .). Incluso este último factor no es muy preciso porque, como afirma el autor: "Nuestro cálculo ha sido muy simplificado y descuidado sobre la forma exacta en que se deben promediar varias cantidades. Por lo tanto, no se debe confiar demasiado en el factor 1/3".

3) No debe usar el impulso total, sino solo la diferencia. Puedes ver esto intuitivamente al notar que desde el otro lado de la superficie habrá la misma cantidad de partículas que cruzan hacia atrás con impulso.$p-\Delta p$. Por lo tanto, la transferencia neta es sólo$\Delta p$

Contestando tus preguntas

Primero tomemos una perspectiva amplia; ¿Qué está preguntando esta pregunta? Está preguntando "supongamos que el fluido tiene un gradiente de velocidad a través de él,$u_x(z)$no es constante, ¿cómo ese gradiente de velocidad crea una fuerza en el plano del fluido debajo?" El hecho de que$u_x(z)$no es constante es muy importante, como lo es el hecho de que varía solo linealmente en una distancia de varios caminos libres medios.

Primero , ¿por qué usamos la velocidad a cierta distancia del límite? Y es porque estamos aproximando este fluido con interacciones de muy corto alcance (por ejemplo, el modelo de bola de billar) donde los vectores de momento de las partículas (incluyendo cada componente, por lo tanto$u_x$) no están cambiando sustancialmente entre las interacciones. Estamos diciendo: ¡Las colisiones cambian los momentos! ¡Pero aparte de eso vamos a fingir que el impulso no cambia! Entonces, cuando una partícula atraviesa esta superficie, "retrocedemos" a la posición que tenía antes.

Segundo , sí , esa es una declaración matemáticamente incorrecta, pero resulta ser correcta. Entonces, durante un intervalo de tiempo$dt$, alguna cantidad$dn$de partículas pasan a través de esta superficie. Ahora supongamos que los rastreamos, encontramos que si la situación es lo suficientemente homogénea como para que la probabilidad de interacción entre$\ell$y$\ell + d\ell$es igual a la probabilidad de interacción entre eso y$\ell + 2d\ell,$entonces deberíamos tener una variable aleatoria exponencial$dp_{\text{interaction at distance }\ell} = \lambda^{-1} ~\exp(-\ell/\lambda)~d\ell.$Darse cuenta de$\int \ell dp(\ell) = \lambda$es el camino libre medio, resulta que aquí se puede desarrollar cualquier distribución de probabilidad.

Y eso es porque si$\lambda$es lo suficientemente pequeño como para que podamos linealizarlo$u_x(z - \ell) \approx u_x(z) - u_x'(z)~\ell$para la mayor parte de esta densidad de probabilidad, entonces el típico$u_x$llevado a través de la barrera va a ser$int (u_x(z) - u_x'(z)~\ell) dp(\ell) = u_x(z) - u_x'(z)~\lambda.$El primer término sigue porque la densidad de probabilidad se normaliza y se integra a 1; el segundo término se sigue porque integrando$\ell$sobre la densidad de probabilidad da el camino libre medio.

Entonces se deduce del hecho de que estamos linealizando$u_x(z)$por$0 > z > -10\lambda$, digamos, de modo que la única suposición sobre$p(\ell)$es que decae más rápidamente que la velocidad para$\ell \gg \lambda.$

En tercer lugar , ¡porque queremos saber cuánto impulso adicional estamos absorbiendo en un tiempo determinado! Permítanme escabullirme totalmente de esto de la siguiente manera: hay un marco de referencia donde el$u_x$en este punto de la frontera es cero. ¡Podemos usar este marco de referencia para calcular la fuerza al ver cómo su velocidad está inclinada a cambiar en una unidad de tiempo! Aquí la velocidad está cambiando debido al transporte convectivo de partículas con algún componente de velocidad x$u_x(z-\ell) \ne u_z(z)$en nuestro volumen de control, bajando/subiendo el total$x$-velocidad en ese espacio.

Derivación separada y más rápida

Supongamos que un objeto se mueve a cierta velocidad$v$a través de un fluido; Me gusta pensar en cortar lentamente el fluido con la hoja de un cuchillo. Podemos imaginar que hasta que comience a "recoger" partículas en su superficie frontal, las partículas golpean sus lados con una pequeña escala de tiempo característica.$\tau,$y que cada vez que una partícula la golpea, le dará a esa partícula una velocidad de avance proporcional a$v$. Por lo tanto en un tiempo$dt$habrá algún número$dt/\tau$partículas a las que se les ha dado cierto impulso$\alpha v$correspondiente a una fuerza de reacción debido a la conservación de la cantidad de movimiento que parece$-\alpha v / \tau.$Lo que esto significa es que la fuerza es proporcional a la velocidad de la partícula, "arrastre lineal", característica de una interacción viscosa normal.

Ya leí su primera pregunta, Derivación de la teoría cinética de la viscosidad de un gas , donde su punto fue dicho brevemente esto;

Mi problema con este bit es, ¿por qué no encontramos simplemente el impulso total en lugar de la cantidad por la cual excede el impulso de esa capa?

Su pregunta es realmente interesante y necesita ir a lo básico. Tenga en cuenta que en la teoría cinética se supone que todo son solo colisiones;

Excepto durante las colisiones , las interacciones entre las moléculas son insignificantes. (Es decir, no ejercen fuerzas entre sí). Esto implica:

1. Los efectos relativistas son despreciables.
2. Los efectos de la mecánica cuántica son insignificantes. Esto significa que la distancia entre partículas es mucho mayor que la longitud de onda térmica de De Broglie y las moléculas se tratan como objetos clásicos.
3. Debido a los dos anteriores, su dinámica puede tratarse de manera clásica. Esto significa que las ecuaciones de movimiento de las moléculas son reversibles en el tiempo.

Pero si solo piensa en la viscosidad, inmediatamente notará que es mucho más que una simple colisión. Solo piense en una cuchara en miel o jarabe, y cómo sigue a la cuchara cuando la saca de la olla. Esta atracción es mecánica cuántica, es muy similar a los imanes que se atraen entre sí; ¡y estas fuerzas no son despreciables! Entonces, su problema básico es que en realidad no puede explicar realmente la viscosidad a través de la teoría cinética. Puede tener resultados utilizables hasta ahora, su fluido es completamente turbulento, pero eso es simplemente porque la turbulencia son colisiones y, por lo tanto, se ajusta a la teoría cinética. -Las matemáticas funcionan, pero no describen la verdadera física detrás del fenómeno.

Para concluir esto, aunque la teoría cinética predice con bastante precisión el comportamiento viscoso de los gases , la idea detrás de esta teoría no es del todo correcta y, por lo tanto, las respuestas a sus preguntas;

1. ¿Por qué hemos supuesto que la partícula tiene el valor de$u_x$en la posición de su última colisión.
2. ¿Por qué suponemos que la partícula ha recorrido una distancia$λ_{fmp}$entre su última colisión y el cruce del límite.
3. ¿Por qué estamos usando el impulso de 'exceso'$Δp$la partícula transporta a través del límite en lugar del momento total$p$.

son; Solo porque esta simplificación funciona con una precisión razonable en el rango típico de la vida real. Pero si estudias en un amplio rango, notas fácilmente cómo las simplificaciones dejan de funcionar; es decir. la presión sí influye en la viscosidad . La teoría cinética es solo un modelo teórico simplificado que realmente funciona solo con un gas teórico . Su capacidad para explicar fenómenos reales (como la viscosidad) es bastante limitada.

Espero que esto te ayude. Aquí hay algunos pensamientos sobre las cosas; ¿Tendría alguna consecuencia práctica una solución al Problema del Milenio de Navier-Stokes?