¿Una explicación intuitiva del origen microscópico del esfuerzo cortante perpendicular al flujo plano de Couette de un gas?

Question

¿Una explicación intuitiva del origen microscópico del esfuerzo cortante perpendicular al flujo plano de Couette de un gas?

Física
viscosidad
tensión-deformación
dinámica de fluidos
Teoría cinética

retrete

En breve:

La simetría del tensor de esfuerzos predice que cuando hay un esfuerzo cortante paralelo al flujo plano de Couette, también debe haber un esfuerzo cortante perpendicular a él. Supongamos que el fluido es un gas. Si bien en ese caso existe una explicación microscópica intuitiva bien conocida para el primero, tengo problemas para encontrar una explicación microscópica igualmente intuitiva para el segundo. Por supuesto, un tratamiento apropiado de la ecuación de transporte de Boltzmann da la respuesta correcta, pero esto no da una intuición sobre lo que está sucediendo, al menos no para mí. ¿Alguien podría proporcionar una explicación microscópica intuitiva ?para el esfuerzo cortante perpendicular al flujo de un gas, preferiblemente tan intuitivo como el que existe para el esfuerzo cortante paralelo al flujo?

En detalle:

Supongamos que tenemos un flujo de Couette plano de estado estacionario caracterizado por el campo de velocidad $\vec{u}=u_{x}(y) \hat{x}$ , dónde $u_{x}(y)=u_{0}y/h$ . Aquí $h$ es la distancia entre la placa estacionaria (que se encuentra en el $x$ - $z$ plano, es decir, en altura $y=0$ ) y la placa móvil (que se encuentra en un plano paralelo al plano estacionario, a la altura $y=h$ ).

Flujo plano de Couette [1]

El fluido tiene viscosidad. $\eta$ , y así en todo plano paralelo al $x$ - $z$ plano y a una altura entre $y=0$ y $y=h$ , hay una fuerza cortante por unidad de área en el $\hat{x}$ dirección: $\vec{F}/A=\eta \frac{\partial u_{x}}{\partial y}\hat{x}$ . Otra forma de decir lo mismo es que $T'_{xy}=\eta \frac{\partial u_{x}}{\partial y}$ , dónde $T'_{xy}$ es $x$ - $y$ componente del tensor de tensión viscoso . Esto es consistente con la ecuación constitutiva para un fluido newtoniano, que, en el caso cuando $\vec{\nabla}\cdot\vec{u}=0$ (como es el caso aquí), se reduce a $T'_{ij}=2\eta D_{ij}$ , dónde $D_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right)$ es el tensor de tasa de deformación .

La explicación microscópica intuitiva estándar para el esfuerzo cortante paralelo al flujo

Cuando el fluido es un gas, hay una explicación estándar del origen microscópico de esta fuerza de corte, dada por ejemplo aquí . Considere un plano paralelo al $x$ - $z$ avión. El gas justo encima se mueve en el $\hat{x}$ dirección un poco más rápido que el gas justo debajo de él. Ahora, las moléculas de gas experimentan un movimiento térmico aleatorio que se superpone al flujo macroscópico, por lo que algunas partículas cruzan este plano desde arriba, mientras que otras lo cruzan desde abajo. Pero aquellos que lo cruzan desde arriba tienen, en promedio, un poco más grande $x$ -componente de la velocidad que los que la cruzan desde abajo, de nuevo porque $u_{x}$ es ligeramente más grande por encima del plano que por debajo de él. Por lo tanto, hay una transferencia neta de la $x$ -componente de la cantidad de movimiento a través de este plano. De hecho, este modelo se puede utilizar para demostrar que $\eta=\frac{1}{3}mn\bar{u}\ell$ , dónde $m$ es la masa de las moléculas de gas, $n$ la densidad numérica del gas, $\ell$ el camino libre medio, y $\bar{u}$ es la magnitud promedio de las velocidades térmicas de las moléculas de gas.

Hasta ahora, todo bien.

El esfuerzo cortante perpendicular al flujo

Sin embargo, se sabe que el tensor de tensión es simétrico . Esto se sigue tanto por razones generales (de la conservación del momento angular ), o, para fluidos newtonianos, de la relación constitutiva y la simetría de $D_{ij}$ .

Pero esto significa que en la situación anterior, $T'_{yx}$ es también distinto de cero: en otras palabras, en un plano cuya normal es $\hat{x}$ , por lo tanto un plano paralelo al $y$ - $z$ plano, hay una fuerza cortante vertical , es decir, una fuerza en el $y$ -dirección.

Microscópicamente, esto significa que a través de cada plano perpendicular al campo de velocidad, hay una transferencia neta de la $y$ -componente de la cantidad de movimiento.

Mi pregunta es: ¿cuál es el origen microscópico de esta transferencia de impulso?

Tenga en cuenta que el modelo microscópico simple presentado anteriormente no predice tal transferencia: en ese modelo, el $y$ -los componentes de las velocidades moleculares son completamente térmicos, y son los mismos a la izquierda ya la derecha de cualquier plano vertical.

La respuesta, aparentemente, debe estar en el hecho de que existen correlaciones entre los diferentes componentes espaciales $x$ , $y$ , $z$ de las partes 'aleatorias' de las velocidades de las partículas. Según tengo entendido, microscópicamente, el tensor de tensión total para un gas viene dado por la expresión manifiestamente simétrica $T_{ij}=-\rho \langle w_{i}w_{j}\rangle$ (ver egp 2 aquí ). Aquí $\rho$ es la densidad de masa, $\langle \ldots\rangle$ es el promedio instantáneo sobre un elemento de volumen del gas, y $w_{i}=v_{i}-u_{i}$ , dónde $v_{i}$ es el $i$ th componente ( $i=x,\,y,\,z$ ) de la velocidad de la molécula de gas. Entonces $\vec{w}$ es la parte 'aleatoria' de la velocidad. (El tensor de tensión viscoso es entonces $T'_{ij}=T_{ij}+p\delta_{ij}$ , dónde $p$ es la presión.) Pero si esto es así, entonces $T'_{ij}$ ser distinto de cero implica que existen correlaciones entre los componentes espaciales de las partes aleatorias de las velocidades moleculares. Me pregunto si este hecho puede hacerse intuitivo.

Por supuesto, todo esto se puede derivar de la ecuación de Boltzmann. El tratamiento más simple se denomina 'Aproximación del tiempo de relajación', dado, por ejemplo, a partir de la pág. 14 aquí , y en particular en la Sec. 5.5.4 a partir de la pág. 16. Pero después de revisarlo, descubro que todavía me falta una comprensión intuitiva de por qué $\langle w_{i}w_{j}\rangle$ es distinto de cero. También agradecería una explicación clara de cómo tal correlación conduce a la actualmente misteriosa (para mí) transferencia de la $y$ -componente del impulso a través de un plano vertical en el flujo plano de Couette.

Yrogirg

Sólo algunos pensamientos para futuros lectores. OP está preguntando acerca de la explicación intuitiva de un flujo molecular de impulso a través de un plano vertical (es decir, perpendicular al flujo) en el flujo de Couette. No hay una fuerza vertical neta que actúe sobre un elemento fluido debido a este flujo, se cancela si integra esta fuerza de corte vertical sobre la superficie de un elemento fluido. Según tengo entendido, solo se desea un cálculo simple de este flujo basado en la teoría cinética más elemental.

retrete

@yrogirg ¡Gracias por el comentario, y especialmente gracias por ofrecer una recompensa por esta pregunta!

Respuestas (2)

¿Una explicación intuitiva del origen microscópico del esfuerzo cortante *perpendicular* al flujo plano de Couette de un gas?

Sólo algunos pensamientos para futuros lectores. OP está preguntando acerca de la explicación intuitiva de un flujo molecular de impulso a través de un plano vertical (es decir, perpendicular al flujo) en el flujo de Couette. No hay una fuerza vertical neta que actúe sobre un elemento fluido debido a este flujo, se cancela si integra esta fuerza de corte vertical sobre la superficie de un elemento fluido. Según tengo entendido, solo se desea un cálculo simple de este flujo basado en la teoría cinética más elemental.
@yrogirg ¡Gracias por el comentario, y especialmente gracias por ofrecer una recompensa por esta pregunta!

Tomás · Answer 1

1) Imagen microscópica: En teoría cinética la función de distribución tiene la forma

F (\vec{v}) = F_{0} ({\vec{C}}^{2}) + d F (\vec{C})

$f(\vec{v})=f_0(\vec{c}^2)+\delta f(\vec{c})$ dónde

f_{0} ({\vec{c}}^{2}) = \exp (μ / T) \exp (- m {\vec{c}}^{2} / (2 T))

$f_0(\vec{c}^2)=\exp(\mu/T)\exp(-m\vec{c}^2/(2T))$ es la distribución de equilibrio (Boltzmann),

\vec{c} = \vec{v} - \vec{u}

$\vec{c}=\vec{v}-\vec{u}$ es la velocidad de las partículas en relación con el fluido, y

δ f

$\delta f$ es una distribución de no equilibrio que conduce a la disipación, la fricción y la generación de entropía. En nuestro caso

\vec{u}

$\vec{u}$ es flujo cortante entre dos placas,

u_{x} (y) = u_{0} y / L

$u_x(y)=u_0y/L$ .

La distribución de no equilibrio $\delta f$ se puede obtener a partir de soluciones de la ecuación de Boltzmann (por ejemplo, en la aproximación del tiempo de relajación). La magnitud de $\delta f$ determina la viscosidad de corte. Encontramos

d F (C) = - \frac{η}{2 PAG T} F_{0} (C) σ_{i j} C^{i} C^{j}

$\delta f(c) = -\frac{\eta}{2PT}\, f_0(c) \sigma_{ij}c^ic^j$ dónde

σ_{i j} = \nabla_{i} {tu}_{j} + \nabla_{j} {tu}_{i} - \frac{2}{3} d_{i j} (\nabla \cdot tu)

$\sigma_{ij}=\nabla_iu_j+\nabla_ju_i-\frac{2}{3}\delta_{ij}(\nabla\cdot u)$ En equilibrio, la distribución de velocidades en el marco de reposo del fluido es un círculo. Teniendo en cuenta la disipación encontramos una deformación elipsoidal. Hay una mejora de las partículas con positivo

c_{y}

$c_y$ y negativo

c_{x}

$c_x$ , así como negativo

c_{y}

$c_y$ y positivo

c_{x}

$c_x$ .

Esto es exactamente lo que esperamos, porque este tipo de distribución tenderá a igualar la velocidad del flujo.

El flujo de cantidad de movimiento correspondiente es

d T_{i j} = \int d Γ {pag}_{i} v_{j} d F (C)

$\delta T_{ij} = \int d\Gamma\, p_iv_j \delta f(c)$ que es obviamente simétrico. Hay un flujo de

x

$x$ impulso en el

y

$y$ -dirección y viceversa. Una vez más, esto queda claro a partir de la distribución de velocidades subyacente.

2) Imagen macroscópica: El estrés macroscópico es

Δ T_{i j} = - η σ_{i j}

$\Delta T_{ij}=-\eta\sigma_{ij}$ que tiene componentes

δ T_{x y} = δ T_{y x} = - η u_{0} / L

$\delta T_{xy}=\delta T_{yx} = -\eta u_0/L$ . Tenga en cuenta que la tensión es constante, por lo que no conduce a la aceleración del fluido. Las ecuaciones de cantidad de movimiento son

\partial_{0} π_{X} = - \nabla_{y} d T_{X y} \partial_{0} π_{y} = - \nabla_{X} d T_{y X}

$\partial_0 \pi_x = -\nabla_y \delta T_{xy} \quad \partial_0 \pi_y = -\nabla_x \delta T_{yx}$ dónde

π_{i} = ρ u_{i}

$\pi_i=\rho u_i$ es la densidad de cantidad de movimiento del fluido. Una forma de decir esto es que si consideramos una celda fluida, las fuerzas en la parte delantera y trasera, así como en la parte inferior y superior, se cancelan.

El único lugar donde las fuerzas no se cancelan es en los bordes, que es la placa superior e inferior, donde se miden las fuerzas. Pero este tipo de flujo no puede tener un límite frontal y posterior, por lo que no se puede medir una fuerza en esa dirección.

3) Comentario final: Una forma de ver que ambos componentes de $T_{xy}$ son físicos es calcular la corriente de energía disipativa

d j_{i}^{ϵ} = {tu}_{j} d T_{i j} .

$\delta j_i^\epsilon = u_j \delta T_{ij}.$ En el presente caso, el único componente que

δ j_{y}^{ϵ} = u_{x} δ T_{y x}

$\delta j^\epsilon_y=u_x \delta T_{yx}$ , que desemboca en el fluido, ortogonal a la dirección del flujo. Esto tiene sentido: hacemos trabajo en el límite, y la energía fluye hacia el fluido y se disipa como calor.

Además: la energía total disipada en el flujo (que se puede medir observando la tasa de calentamiento) es

\dot{mi} = \frac{η}{2} \int d^{3} X (d T_{i j})^{2}

$\dot E = \frac{\eta}{2} \int d^3x \, (\delta T_{ij})^2$ que obviamente se equivocaría por un factor de 2 si solo uno de los dos componentes

δ T_{x y}

$\delta T_{xy}$ y

δ T_{y x}

$\delta T_{yx}$ no es cero

Posdata: Creo que finalmente entiendo su problema principal. Estás preguntando: "¿Por qué me salgo con la teoría cinética del pobre al estimar el flujo de $x$ -impulso en el $y$ -dirección, pero el mismo argumento no da inmediatamente un flujo de $y$ -impulso en el $x$ -¿dirección?

La teoría cinética del pobre afirma que las partículas tienen la velocidad del flujo local $u_x$ , y superpuesto es una velocidad de deriva aleatoria $v_y$ . Esto da un desequilibrio a través de planos en el $x$ -dirección, porque $u_x$ depende de $y$ .

Ahora considere una cara en el $y$ -dirección. En promedio hay tantas partículas con $+v_y$ y $-v_y$ , pero las partículas con $\pm v_y$ proceden de regiones con diferentes $u_x$ , por lo que tienen diferentes flujos, dando un desequilibrio en el $y$ impulso. Esto es un poco más difícil de visualizar, por lo que también podría cambiar a la teoría cinética real, pero es una consecuencia necesaria del argumento intuitivo para el flujo en $x$ impulso.

Gracias por esta respuesta. Sin embargo, como mencioné en la publicación original, ya sé cómo obtener el resultado correcto de la ecuación de Boltzmann, por ejemplo, en la aproximación del tiempo de relajación. Mi pregunta, más bien, es si esto se puede hacer intuitivo de una manera similar a la forma en que se puede hacer intuitivo el esfuerzo cortante paralelo al flujo (ver el párrafo 'La explicación microscópica intuitiva estándar para el esfuerzo cortante paralelo al flujo ').
De hecho, tenga en cuenta que nuestra intuición está equivocada incluso en lo que se refiere al esfuerzo cortante paralelo al flujo. Es decir, sabemos por la ecuación de Boltzmann que si la distribución de $\vec{c}$ es maxwelliana, entonces obtenemos viscosidad cero. Pero en la explicación intuitiva, se supone (o al menos se permite) que $\vec{c}$ ser maxwelliano y, sin embargo, se predice una viscosidad distinta de cero.
Entonces, por un lado, la explicación intuitiva predice una transferencia de cantidad de movimiento neta a través de planos paralelos al flujo, aunque no debería; por otro lado, si predice esta transferencia, entonces también debería predecir la transferencia de cantidad de movimiento neta a través de planos perpendiculares al flujo, y no lo hace.
1) La explicación intuitiva requiere que la distribución NO sea maxwelliana. Tiene que haber un mecanismo (difusión) más allá de la distribución de Boltzmann que provoque partículas con mayor $v_x$ a sfream abajo, y viceversa.
2) Una vez que tenga una distribución de velocidad deformada, el flujo de cantidad de movimiento es necesariamente simétrico. Si hay un flujo de $x$ impulso en el $y$ dirección, también tiene que haber un flujo de $y$ impulso en el $x$ dirección (porque el impulso es proporcional a la velocidad).
3) NO hay transferencia de cantidad de movimiento neta a través de las placas (ya sea en la dirección x o en la dirección y), porque el flujo de cantidad de movimiento siempre se equilibra exactamente. La única excepción es el límite del fluido.
4) La única asimetría es que el fluido tiene límites físicos en la parte inferior y en la parte superior, pero no en la parte delantera y trasera,
1) Lo siento, no veo eso... Mire 'Prueba del resultado de la viscosidad' aquí . Sí, sé que, de hecho, la distribución debe ser no maxwelliana para que haya una viscosidad distinta de cero, pero no veo dónde entraría esto en esta discusión en este libro.
2) Sé cómo demostrar que este es el caso a partir de la ecuación de Boltzmann. Pero no sé cómo mostrarlo usando la imagen simple presentada en el libro al que hice referencia en 1). Supongo que lo que realmente estoy preguntando es: ¿Cuál es la modificación mínima a esta imagen simple que da la respuesta correcta?
3) No estoy seguro de lo que quieres decir. Tome un plano paralelo al flujo. Durante algún tiempo $T$ , medir la $x$ -componente del momento de cada molécula que cruza ese plano. Sume todos estos momentos medidos, donde mantiene el signo tal cual para las moléculas que cruzaron desde arriba, pero invierta el signo para las moléculas que cruzaron desde abajo. Dividido por $T$ , obtener un número. Repita para más y más grande $T$ s, sin límite. La secuencia que obtengas convergerá a algo distinto de cero... ¿no es así?
4) ¡De acuerdo! Aún así, mi punto es 3) se mantiene ... y de manera similar obtendrá un número distinto de cero para una placa vertical y el $y$ -componente del impulso (esta vez mantenga el signo como está para las moléculas que cruzan desde la derecha, e invierta el signo para las moléculas que cruzan desde la izquierda).
1) Esa es la desventaja de la "teoría cinética del hombre pobre". El autor pretende que la distribución es localmente maxwelliana, pero también asume que las partículas dentro de un camino libre medio se están difundiendo. Pero si la distribución es realmente maxwelliana, entonces no hay difusión. Entonces la distribución real es $f_0+\delta f$ , dónde $\delta f$ describe la difusión del impulso.
3) Debería haber sido más preciso. La pregunta relevante es el balance de cantidad de movimiento entre elementos de volumen sucesivos. No hay un flujo de cantidad de movimiento neto fuera de los elementos de volumen, porque la contribución de arriba y de abajo se cancela. Esto también es cierto para las caras frontal y posterior, ya que el flujo de cantidad de movimiento es simétrico en x e y.
Entonces, un 'argumento simple e intuitivo' sigue siendo esquivo... Eso está bien. Posiblemente simplemente no exista tal argumento... ¡Gracias por su respuesta y sus comentarios! Estoy votando a favor... Pero como mi representante es demasiado bajo, aparentemente no se muestra. Lo siento...
Creo que eso es demasiado pesimista. Creo que la posdata es una explicación correcta, y los dos flujos son automáticamente iguales, porque $v_y(\rho u_x)=u_x(\rho v_y)$ .

frapadingue · Answer 2

El tensor de tensión viscoso $T'_{ij}$ es simétrico solo por convención en realidad. De hecho, aparece en las ecuaciones sólo como $\dfrac{\partial T'_{ij}}{\partial x_j}$ , por lo que podemos reemplazar $T'_{yx}$ con $T'_{yx}+f(y)$ para el flujo de Couette ya que nada depende de $z$ . Es perfectamente legítimo, a partir de la simetría $T'_{ij}$ elegir $f(y) = -\eta\dfrac{\partial u_x}{\partial y}$ Llegar $T'_{yx}=0$ , aclarando así su problema.

Pero entonces, ¿cómo afecta la interpretación microscópica de $T'_{xy}$ ? Si consideramos el volumen de fluido entre $y=h$ y $y=h+\delta h$ , y busque la transferencia de cantidad de movimiento hacia y desde $y<h$ y $y>h+\delta h$ , a nivel macroscópico, esencialmente calcularemos $\delta T'_{xy}=\left.T'_{xy}\right|_{y=h+\delta h}-\left.T'_{xy}\right|_{y=h}$ , al mismo valor de $x$ para ambos términos, y luego equiparar eso con el cálculo de la teoría cinética a nivel microscópico. Pero $\delta T'_{xy}$ es insensible a un cambio $T_{xy}\mapsto T_{xy}+f(x)$ .

Gracias por el comentario; Debo decir que no fui yo quien rechazó tu respuesta. Sin embargo, no creo que pueda votar su respuesta hasta que aclaremos algo.
Por supuesto, tiene razón en que las ecuaciones de movimiento (por ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes) solo son sensibles a la divergencia del tensor de tensión (con respecto a uno de los índices), por lo que es posible agregar un término de divergencia cero al tensor de tensión sin afectar las ecuaciones de movimiento.
(Agregar dicho término desordenará la forma simple de la relación constitutiva entre el tensor de tensión y el tensor de velocidad de deformación, así como la forma simple de la ecuación de conservación del momento angular. Y también desordenará la forma simple relación entre el tensor de tensión total y el objeto microscópico $-\rho\langle w_{i}w_{j}\rangle$ . Pero en principio podrías decidir vivir con todo eso).
Pero lo que no es arbitrario es el hecho de que, microscópicamente, hay una transferencia de cantidad de movimiento neta a través de ambos planos paralelos al flujo así como planos perpendiculares al flujo. Y el hecho es que la explicación microscópica intuitiva solo predice uno de estos. (Aún peor: dado que esta explicación asume, o al menos permite, que la distribución de la velocidad molecular en relación con el flujo es solo térmica, no debería predecir viscosidad en absoluto; consulte también mis comentarios a la respuesta de Thomas).
Entonces, mi pregunta sigue sin respuesta: ¿existe una explicación microscópica intuitiva para ambos tipos de transferencia de cantidad de movimiento neta? Nuevamente, sé cómo obtenerlo de la ecuación de Boltzmann. Eso no es intuitivo, sin embargo. ¿ Qué es intuitivo? Bueno, la explicación dada en el párrafo 'La explicación microscópica intuitiva estándar para el esfuerzo cortante paralelo al flujo'.
(Tenga en cuenta que en su respuesta no explicó por qué hay una transferencia de cantidad de movimiento a través de planos perpendiculares al flujo).
«microscópicamente, hay una transferencia de cantidad de movimiento neta a través de [...] planos perpendiculares al flujo» Es la pregunta que desea respuestas, ¿no es así? Su pregunta no presenta ningún argumento microscópico para eso, ¿verdad? En cualquier caso, mi argumento es que no hay transferencia de cantidad de movimiento media neta a través de los planos perpendiculares al flujo. Su paradoja surge de una ilusión causada por su elección de tensor de viscosidad.
'Mi argumento es que no hay transferencia de cantidad de movimiento media neta a través de los planos perpendiculares al flujo'. Permítanme verificar que estamos de acuerdo en lo que constituye 'transferencia de momento promedio neto a través de los planos perpendiculares al flujo'. Aquí está la declaración precisa de lo que quiero decir con eso:
Considere un plano perpendicular al flujo. Durante algún intervalo de tiempo de duración $T$ , medir la $y$ -componente del momento de cada molécula que cruza ese plano. Sume todos estos momentos medidos, manteniendo el signo tal como está para las moléculas que cruzaron desde la izquierda, pero invierta el signo para las moléculas que cruzaron desde la derecha. Dividido por $T$ , obtener un número.
Repita para más y más grande $T$ s, sin límite. La secuencia que obtengas convergerá a un número, $\bar{p}_{y\perp}$ . A este número lo llamo 'la tasa promedio a largo plazo de transferencia neta de la $y$ -componente del momento en el plano perpendicular'.
Sí. En realidad, si tuvieras que mirar el momento promedio de la partícula que viene de la izquierda, encontrarías 0. Lo mismo desde la derecha. ¿No es obvio considerando que no hay componente de velocidad macroscópica a lo largo del eje y? Así que este es un caso de 0 - 0 = 0.

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