¿Por qué la fuerza de amortiguamiento es proporcional a vvv y no a v2v2v^2?

Usamos ( fuente )

Σ F = metro a = F s pag r i norte gramo + F d a metro pag

para las fuerzas que actúan sobre un objeto sometido a una oscilación armónica amortiguada. Definimos

F d a metro pag = β v

dónde β es la constante de arrastre y v es la velocidad.

mi pregunta es porque F d a metro pag es proporcional a v y no v 2 porque si tenemos un péndulo amortiguado, la fuerza de amortiguamiento debe relacionarse con la resistencia del aire (fuerza de arrastre) que es proporcional a v 2 :

F d r a gramo = 1 2 ρ C D A v 2

si dejamos β = 1 2 ρ C D A , obtenemos F d r a gramo = β v 2

Entonces, ¿por qué la fuerza de amortiguamiento es proporcional a v y no v 2 ?

Cuando la velocidad es menor, la fuerza de amortiguamiento es aproximadamente proporcional a v y cuando la velocidad es considerablemente alta, la fuerza de amortiguamiento es aproximadamente proporcional al cuadrado de v
@Shashaank Esto me parece una respuesta ;-)
@ valerio92 Sí, pensé que era una respuesta de una línea y que más experimental y la operación podría obtenerla en cualquier libro de texto estándar o red (wikipedia), es por eso que no escribí una respuesta. La respuesta de Gert es precisa.

Respuestas (4)

a baja velocidad v el flujo del fluido alrededor del objeto es principalmente laminar y la fuerza de arrastre una respuesta viscosa, que es proporcional a v .

Pero a mayor velocidad, el flujo se vuelve turbulento y deben tenerse en cuenta las fuerzas de inercia que actúan sobre el fluido que fluye. En esas condiciones, la fuerza de arrastre se vuelve proporcional al cuadrado de v .

Creo que esta es una gran respuesta, sin embargo, dentro de un amortiguador del mundo real (automóvil) a velocidades del mundo real, no puedo evitar pensar que el flujo sería enormemente turbulento, por lo tanto, seguiría más una función de ley cuadrática.

Las oscilaciones armónicas amortiguadas son un paradigma extremadamente amplio, y hay muchos ejemplos físicamente distintos en los que la fuerza se comporta de formas completamente diferentes en función de la velocidad.

  • En el modelo estándar de fricción de Amontons-Coulomb, tenemos F ∝ v 0 firmar ⁡ ( v ) .

  • En el caso de arrastre viscoso, tenemos F ∝ v 1 .

  • Para velocidades altas, típicamente tenemos, aproximadamente, F ∝ v 2 firmar ⁡ ( v ) .

La razón por la que a la gente le gusta hablar de F ∝ v 1 no es física, es simplemente que las soluciones resultantes resultan tener una forma analítica simple. Una forma de ver por qué el exponente 1 es matemáticamente especial es que, en este caso, las ecuaciones de movimiento se pueden poner en la forma X ″ + a X ′ + b X = 0 (el caso homogéneo, es decir, oscilaciones libres). Entonces podemos tomar X = mi r t , dónde r es un número complejo, y las soluciones corresponden a valores de r que son raíces de una cuadrática.

Esta es ciertamente la razón por la cual el caso de arrastre de Stokes es más prominente en los textos elementales. La pedagogía es relativamente simple y las soluciones son fáciles de alcanzar y comprensibles.

Como señalaron Gert y Kyle Kanos, para velocidades bajas (determinadas por el número de Reynolds) el flujo de aire será laminar. A altas velocidades, la dependencia cuadrática se produce debido a la turbulencia que hace que el flujo que se aleja del objeto sea independiente del flujo en la vecindad inmediata del objeto. Entonces se puede considerar el cambio en el impulso del flujo de aire que es interceptado por el objeto. Claramente, el cambio en el momento si una cantidad dada de aire interceptado es proporcional a la velocidad y la cantidad de aire interceptado por unidad de tiempo también es proporcional a la velocidad, por lo tanto, la fuerza de fricción debe ser cuadrática en la velocidad.

A bajas velocidades, este razonamiento se vuelve inválido, el flujo de aire perturbado por el objeto en movimiento ya no es local. Se puede demostrar usando las ecuaciones de Navier Stokes que esto conduce a una dependencia lineal de la velocidad de fricción con la velocidad para velocidades pequeñas (permitiendo ignorar la v → ⋅ ∇ → v → término). Sin embargo, esto solo es cierto para un objeto que se mueve a una velocidad uniforme; precisamente el efecto de largo alcance del objeto en movimiento sobre el fluido hará que la fuerza de fricción dependa de toda la historia de la trayectoria del objeto. La fórmula general para la fuerza de fricción en el límite inferior de velocidad de un objeto esférico de radio R moviéndose a velocidad v → ( t ) es:

F → ( t ) = − 2 π ρ R 3 [ 1 3 a → ( t ) + 3 v v → ( t ) R 2 + 3 R v π ∫ − ∞ t a → ( t ′ ) d t ′ t − t ′ ]

dónde a → ( t ) es la aceleración del objeto, v es la viscosidad cinemática η ρ dónde η es la viscosidad dinámica y ρ es la densidad del fluido. El segundo término entre paréntesis produce la conocida fórmula de Stokes para la fuerza de fricción. El primer término es el efecto de la inercia del fluido, si el objeto acelera, parte del fluido acelerará con él debido a las condiciones de contorno de no deslizamiento. El último término produce el efecto de la historia del movimiento del objeto sobre la fuerza de fricción.

¿Por qué "así llamado" para el número de Reynolds, así es como se llama ...
@KyleKanos Sí, eso es lo que quise decir con "supuesto".
Pero eso no es realmente lo que significa, indica que usted piensa que el término es inapropiado .
No soy un hablante nativo de inglés, pero Google dice: "el llamado adjetivo se usa para mostrar que algo o alguien se designa comúnmente por el nombre o término especificado". Los siguientes en la lista son los llamados químicos "suaves" como Sinónimos de ácido fosforoso: nombre inapropiado, supuesto, alegado, supuesto, ostensible, reputado; más usado para expresar la opinión de uno de que un nombre o término es inapropiado. "ella podría confiar en él más que en cualquiera de sus supuestos amigos"
Sí, todos esos "sinónimos" indican precisamente lo que dije.
El primero es como siempre lo uso, es decir, el significado comúnmente designado, el segundo es lo que dices, cuando tienes problemas con el término. Supongo que depende del contexto cuál sea la mejor manera de usar e interpretar "supuesto".
Pero el número de Reynolds no es un "nombre comúnmente designado", es el nombre que se le da.
Sí, eso tiene sentido, he eliminado el adjetivo "supuesto".
¿Cómo tiene sentido esa fórmula? En el término "historia", la integral se integra desde el tiempo negativo hasta el infinito, pero allí la raíz cuadrada se vuelve imaginaria y eso da como resultado que la fuerza se convierta en un número complejo, lo cual no tiene ningún sentido. ¿Se supone que solo debe integrarse desde t ′ que supongo que es el origen de la trayectoria (que parecería ser lo único que tiene sentido, tenemos que comenzar por un conjunto de condiciones iniciales prescritas en el estado fluido y no necesariamente podemos retropolar razonablemente a partir de ellas, por ejemplo, el el objeto podría no haber estado en el contenedor, etc.)?
@The_Sympathizer La variable de integración es t 'y esto va desde menos infinito hasta t, por lo que la raíz cuadrada es real en esa región de integración.

Esto se discute en la entrada de Wikipedia sobre Drag (énfasis en ellos):

La ecuación para resistencia viscosa o arrastre lineal es apropiada para objetos o partículas que se mueven a través de un fluido a velocidades relativamente bajas donde no hay turbulencia (es decir, bajo número de Reynolds , R mi < 1 ). Tenga en cuenta que el flujo laminar puro solo existe hasta Re = 0.1 bajo esta definición. En este caso, la fuerza de arrastre es aproximadamente proporcional a la velocidad, pero de dirección opuesta. La ecuación para la resistencia viscosa es:

F = − b v

Entonces, debido a que el autor asume un flujo laminar para el aire alrededor de la masa oscilante, usa la forma lineal (límite de Stokes) para la resistencia.

Tenga en cuenta también que la forma cuadrática requiere un número de Reynolds de ≳ 1000 antes de que sea válido (también depende de la forma del objeto en movimiento).

el artículo de wikipedia al que ha hecho referencia usa el Buckingham Π teorema para demostrar que la fuerza de arrastre debe ser proporcional a v 2 F C ( R mi ) dónde R mi = v A v , entonces uno debe tener F C ( X ) ≈ 1 X para pequeña x
@hyportnex: El segundo enlace sí, correcto. El primer enlace da otro enlace ( here ) que deriva la forma lineal de las ecuaciones NS.
Para el oscilador armónico, esperamos velocidades lentas y sin turbulencias, por lo que podemos usar el límite de Stokes. Esto no tiene sentido. Las oscilaciones amortiguadas son un paradigma extremadamente amplio, que se puede aplicar a muchos sistemas físicos diferentes y muy diferentes.
¿Por qué la fuerza de amortiguamiento es proporcional a vvv y no a v2v2v^2?
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