Derivación de la teoría cinética de la viscosidad de un gas.

Encontrando muchos problemas tratando de entender esto. La idea básica de la derivación que estoy usando es la siguiente (la imagen aquí puede ayudar): (fuente: tamu.edu )

voy a escribir ⟨ tu X ⟩ como la velocidad horizontal general en lugar de tu y guarda tu como la velocidad horizontal de la placa superior.

Así que la idea es que tenemos nuestro gas entre dos placas, la superior moviéndose a velocidad constante tu y el de abajo fijo. Ahora bien, esto aparentemente significa que deberíamos obtener un transporte de cantidad de movimiento a través del gas, desde la placa superior hacia la placa inferior. Sin embargo, ¿cómo puede ser esto? Si observa el gas como un todo, está en un estado estable, en el que cada capa se mueve a una velocidad constante debido a cualquier gradiente de velocidad.

d ⟨ tu X ⟩ d y
existe Por lo tanto, ¿cómo se transporta el impulso a través del gas? Si este fuera el caso, seguramente las capas estarían cambiando sus velocidades horizontales y, por lo tanto, no tendríamos este estado estacionario.

Entonces, el esfuerzo cortante de la fuerza necesaria para mantener la placa superior en movimiento es

F A
y esto se usa para definir la viscosidad
η
a través de
F A = η d ⟨ tu X ⟩ d y .
Esto también se aplica a cualquier 'capa' del gas, con F la fuerza necesaria para mantenerlo en movimiento a velocidad constante.

El siguiente paso es notar que

− F A
es el flujo de cantidad de movimiento de las moléculas de gas a través de la unidad de área de una capa del gas. No entiendo esto en absoluto. Así que tenemos una capa de gas y la estamos arrastrando a velocidad constante
⟨ tu X ⟩
aplicando algo de fuerza
F .
Usando la fuerza como la tasa de cambio del impulso, acepto que
F A
representa el cambio en la cantidad de movimiento en la unidad de tiempo de la unidad de área de esta capa, a lo largo de la dirección x. Sin embargo, ¿cómo se iguala esto al momento en la dirección x de las moléculas que pasan a través de la unidad de área en la unidad de tiempo de esta capa? Parecen no estar relacionados.

Finalmente para calcular este flujo (permitiéndonos encontrar

η
) utilizamos el hecho de que el número de partículas en el intervalo de velocidad
[ v , v + d v ]
y el intervalo angular
[ θ , θ + d θ ]
es dado por
1 2 norte v F ( v ) porque ⁡ θ pecado ⁡ θ d v d θ
. Entonces decimos que cada molécula ha recorrido un camino libre medio
λ
desde la última colisión y por lo tanto una distancia
λ porque ⁡ θ
a lo largo de
y
dirección. Esto corresponde a una diferencia de velocidad
d ⟨ v X ⟩ = d v X d y d y = d v X d y λ porque ⁡ θ
y entonces el impulso de esta fuente es mayor que el de nuestra capa en una cantidad
− metro ( d ⟨ tu X ⟩ d y ) λ porque ⁡ θ .
Luego, esto se multiplica por la distribución anterior y se integra en todas las velocidades y todos los ángulos.
v ∈ [ 0 , ∞ ] y θ ∈ [ 0 , π ] .
Mi problema con este bit es, ¿por qué no encontramos simplemente el impulso total en lugar de la cantidad por la cual excede el impulso de esa capa?

Esto nos da el flujo, por lo que el esfuerzo cortante, por lo que en comparación

η .
Si alguien pudiera darme una idea de al menos una de esas cosas, estaría muy agradecido.

Respuestas (1)

¿Cómo se transporta el impulso a través del gas? Si este fuera el caso, seguramente las capas estarían cambiando sus velocidades horizontales y, por lo tanto, no tendríamos este estado estacionario.

El gas está en un estado estacionario y se está transfiriendo cantidad de movimiento. Esto significa que se requiere una fuerza horizontal constante en la placa superior y una fuerza igual y opuesta en la placa inferior. Cada capa de gas recibe impulso desde arriba y transfiere el mismo impulso a la capa debajo de ella, por lo que no experimenta aceleración.

F / A representa el cambio en el impulso en la unidad de tiempo de la unidad de área de esta capa

La capa tiene una velocidad constante, por lo que no tiene cambios en la cantidad de movimiento por unidad de tiempo. F / A es el impulso transferido de una capa a la que está debajo.

Sin embargo, ¿cómo se iguala esto al momento en la dirección x de las moléculas que pasan a través de la unidad de área en la unidad de tiempo de esta capa? Parecen no estar relacionados.

A nivel microscópico, la única forma en que una capa puede impartir impulso a la capa adyacente es intercambiando moléculas. F / A es el momento neto transportado a través del límite imaginario desde la capa superior a la inferior.

¿Por qué no buscamos simplemente la cantidad de movimiento total en lugar de la cantidad por la cual excede la cantidad de movimiento de esa capa?

F / A es el momento neto transportado a través del límite imaginario. Por cada molécula que pasa hacia abajo a través del límite, hay en promedio una molécula que pasa hacia arriba, llevando en promedio un poco menos X impulso, característico de la región de donde procedía.

Como puede ver (espero), la derivación fue correcta: todo lo que hice fue modificar las palabras. A menudo hay una tendencia en los libros de texto a suponer que si una cantidad obviamente tiene las dimensiones correctas, entonces debe ser lo que se desea. Esto puede conducir a un uso casual de palabras al describir la lógica. hth

Observé que también tiene placas sólidas en la parte superior e inferior de su diagrama, lo que requiere que use la condición de contorno sin deslizamiento. Esto siempre es bueno cuando el camino libre medio es pequeño, pero para obtener un resultado preciso para un camino libre medio arbitrario, necesitaría saber algo sobre la superficie y cómo interactúa con las moléculas incidentes.

Gracias por la respuesta. Sin embargo, algunas preguntas más: 1. Si no hay una fuerza neta en una sola capa, ¿cuál es la razón por la que transfiere el impulso hacia abajo? 2. Cuando el impulso llega al fondo, ¿adónde va? ¿Intenta acelerar la placa inferior? ¿Cómo funciona? 3. ¿Cómo explicarías que la cantidad de movimiento por unidad de área que se transmite es F / A - Estoy luchando para vincular la fuerza F que actúa horizontalmente a la cantidad de cantidad de movimiento que pasa hacia abajo...
@Watw 1. Hablamos del flujo de impulso: el impulso "simplemente está pasando". Si jalo a mi perro a una velocidad constante usando una cuerda, el impulso "atraviesa" la cuerda. 2. Sí, hay fuerza en la placa inferior. Para que la placa permanezca en reposo, debe haber alguna otra fuerza sobre ella. Si mi perro se sienta, genera una gran fuerza de fricción estática con el suelo y transmite el impulso a la tierra. 3. Recuerda que el momento todavía está en la dirección horizontal. Solo piensa en la fricción ordinaria entre cuerpos sólidos.
En términos de la parte final, cuando calculamos el flujo de cantidad de movimiento, parece que estamos calculando el flujo de cantidad de movimiento "en exceso". ¿Es esto porque las otras contribuciones al impulso se cancelarían de todos modos? Si es así, ¿cómo podríamos mostrar esto en un cálculo? Solo diría que, en relación con la capa elegida, el momento x de la capa que estamos considerando es
metro < tu X > − metro ( d < tu X > d y ) λ porque ⁡ θ
y luego integre todas las velocidades y todos los ángulos nuevamente. ¿Estaría bien esto o obtendría la respuesta correcta a través de la lógica incorrecta, ya que parece extraño que mi libro no haga esto?
Derivación de la teoría cinética de la viscosidad de un gas.
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