Derivación de la ecuación básica para diagramas de Witten

Pude entender la derivación de los propagadores "a granel a límite" ($K$) para campos escalares en$AdS$pero la definición iterativa de los propagadores "bulk-to-bulk" no me queda clara.

On está usando la notación que$K^{\Delta_i}(z,x;x')$es el propagador de volumen a límite, es decir, resuelve$(\Box -m^2)K^{\Delta_i}(z,x;x') = \delta (x-x')$y se descompone como$cz^{-\Delta _i}$(para alguna constante$c$) para$z \rightarrow 0$. Específicamente uno tiene la expresión,$K^{\Delta_i}(z,x;x') = c \frac {z^{\Delta _i}}{(z^2 + (x-x')^2)^{\Delta_i}}$

• Dado que esto$K$se integra con los campos límite en$x'$para obtener un campo masivo en$(z,x)$, no entiendo por qué esto se llama propagador de volumen a límite. ¡Hubiera pensado que este es el propagador de "límite a granel"! Me alegraría si alguien puede explicar esta terminología.

• Aunque la siguiente ecuación es muy intuitiva, no puedo encontrar una derivación para esto y quiero saber la derivación para esta expresión más generalizada que se escribe como ,

$\phi_i(z,x) = \int d^Dx'K^{\Delta_i}(z,x;x')\phi^0_i(x') + b\int d^Dx' dz' \sqrt{-g}G^{\Delta_i}(z,x;z',x') \times$ $\int d^D x_1 \int d^D x_2 K^{\Delta_j}(z,x;x_1)K^{\Delta_k}(z,x;x_2)\phi^0_j(x_1) \phi^)_k(x_2) + ...$

donde la "b" es como se define a continuación en la acción$S_{bulk}$, los campos con superíndice de$^0$son posiblemente los valores de los campos en el límite y$G^{\Delta_i}(z,x;z',x')$- el propagador "bulk-to-bulk" se define como la función tal que,

$(\Box - m_i^2)G^{\Delta_i}(z,x;z',x') = \frac{1}{\sqrt{-g}} \delta(z-z')\delta^D(x-x')$

• Aquí, ¿cuál es el valor límite de este$G^{\Delta_i}(z,x;z',x')$que justifica el subíndice de$\Delta_i$.

También en este contexto se redefine$K(z,x;x')$como,

$K(z,x;x') = lim _ {z' \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{\gamma}} \vec{n}.\partial G(z,x;z',x')$dónde$\gamma$es la métrica$g$restringida a la frontera.

• ¿Cómo se demuestra que esta definición de$K$y el dado antes son los mismos? (..aunque es muy intuitivo..)

• También me gustaría saber si la expresión generalizada anterior está ligada de alguna manera a la siguiente forma específica del Lagrangiano,

$S_{bulk} = \frac{1}{2} \int d^{D+1}x \sqrt{-g} \left [ \sum _{i=1}^3 \left\{ (\partial \phi)^2 + m^2 \phi_i^2 \right\} + b \phi_1\phi_2 \phi_3 \right ]$

¿Es necesario que para que la expresión anterior sea verdadera, se necesitan múltiples campos/especies? ¿No es la ecuación debajo de la pregunta en cursiva una expresión general para cualquier teoría de campo escalar en cualquier espacio-tiempo?

• ¿Existe una forma general de derivar tales ecuaciones de propagadores para lagrangianos de campos que realicen un seguimiento del comportamiento en el límite?