Funciones de correlación en la teoría del campo térmico, etc.

No tengo una respuesta completa, pero aquí hay algo para darle una idea aproximada. Consideramos un campo escalar gaussiano con hamiltoniano de un punto$\Omega$, es decir, el hamiltoniano de este campo viene dado por

$$H = : {1 \over 2} \int {\rm d}^d {\mathbf x} \left( \pi(\mathbf x)^2 + \phi(\mathbf x) \Omega^2\phi(\mathbf x)\right): = \int {\tilde {\rm d} \mathbf p} E(\mathbf p) a^{\dagger}(\mathbf p)a(\mathbf p)$$ donde presentamos $\tilde {\rm d} \mathbf p = {{\rm d} \mathbf p \over (2\pi)^d 2E(\mathbf p)} .$

La función de correlación euclidiana de dos puntos de este campo viene dada por

$$\left<{\mathbf x} \right| G_E(t, t') \left|{\mathbf x'} \right> = \int {{\rm d}^{d+1} p \over {2 \pi}^{d+1}} {e^{i p_0(t-t') + {\mathbf p} \cdot ({\mathbf x -\mathbf x'})} \over p_0^2 + E(\mathbf p)^2}$$

mientras que para la función térmica de Green tenemos

$$\left<{\mathbf x} \right| G_{\beta}(t, t') \left|{\mathbf x'} \right> = {1 \over \beta} \sum_{\omega_n = {2 \pi n / \beta}} \int {{\rm d}^{d} p \over {2 \pi}^{d}} {e^{i \omega_n(t-t') + {\mathbf p} \cdot ({\mathbf x -\mathbf x'})} \over \omega_n^2 + E(\mathbf p)^2}.$$

Esto se puede sumar y separar en las contribuciones del estado fundamental y de los estados excitados.

$$\left<{\mathbf x} \right| G_{\beta}(t, t') \left|{\mathbf x'} \right> = \left<{\mathbf x} \right| G_E(t, t') \left|{\mathbf x'} \right> + \int {{\rm d}^{d} p \over {2 \pi}^{d}} {1 \over E(\mathbf p)} {\cosh E(\mathbf p) (t - t') \over e^{\beta E(\mathbf p)} - 1}.$$

Dos observaciones generales que se pueden ver de esto:

1. la función Green térmica tiene un polo en$\beta E = 2 \pi n$. Esto proviene del hecho de que hemos compactado el tiempo (y por lo tanto la temperatura) en un círculo.
2. en el limite$\beta \to \infty$la contribución de los estados excitados se extingue y nos queda la función de Green del vacío.

Es un poco viejo ahora, pero pruebe con Hiroomi Umezawa, "Advanced Field Theory; Micro, Macro, and Thermal Physics", AIP, 1993.

En una notación ligeramente diferente a la utilizada por Marek, la función de dos puntos cambia de

$$\left<0\right|\phi(x)\phi(x+y)\left|0\right>=\hbar\int 2\pi\delta(k^2-m^2)\theta(k_0)\mathrm{e}^{-ik\cdot y}\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4},$$ el caso de estado de vacío libre de Klein-Gordon, al caso de estado térmico correspondiente, $$\omega_\mathsf{T}\Bigl[\phi(x)\phi(x+y)\Bigr]=\hbar\int 2\pi\delta(k^2-m^2)\theta(k_0)\coth\left[ \!\frac{\hbar k_0}{2\mathsf{k_BT}}\!\right]\mathrm{e}^{-ik\cdot y}\frac{\mathrm{d}^4k}{(2\pi)^4}.$$ Sobre la base de esta presentación, el caso de campo libre térmico no es más que una medida diferente en el cono de luz frontal, que es, inevitablemente, no invariante de Lorentz (el $k_0$en el $\coth$factor selecciona un marco preferido). La deformación no es menos suave que la función de vacío de 2 puntos. Además, aunque las ecuaciones anteriores no lo muestran, el estado del campo térmico sigue siendo gaussiano, como el estado de vacío, por lo que toda la estructura del estado térmico sobre el campo libre de Klein-Gordon está completamente especificada por la función de 2 puntos.

También se podrían construir deformaciones de orden superior de la medida de la capa de masa, agregando factores adicionales de$\coth\left[ \!\frac{\hbar k'_0}{2\mathsf{k_BT'}}\!\right]$, o de lo contrario, muy posiblemente correspondiente a diferentes direcciones temporales y temperaturas.

Puede encontrar una presentación del campo de Klein-Gordon que es suficiente para reconstruir lo anterior en mi "Una presentación sucinta del campo de Klein-Gordon cuantizado, y una presentación cuántica similar del campo aleatorio clásico de Klein-Gordon", quant-ph /0411156, Físico. Letón. A 338, 8-12 (2005), aunque la mayoría de las veces estoy puliendo un hacha bastante diferente en ese artículo.