El efecto de deformación de doble trazo en AdS/CFT

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El efecto de deformación de doble trazo en AdS/CFT

anuncios-cft
Física
integral de trayectoria
teoria de las cuerdas
teoría cuántica de campos

usuario6818

Permítanme usar este documento como referencia para esto.

Quiero entender mejor el argumento al final de la página 6.

si el bulto $AdS$ la métrica se escribe como $\frac{1}{r^2}(dr^2 + A(r)ds_{boundary}(x)^2)$ entonces los campos escalares masivos libres en él son de la forma, $\phi = r^{\Delta_{+}}(\alpha(x)) + r^{\Delta_{-}}(\beta(x))$ ,cerca $r=0$ . (... y los números $\Delta_{\pm}$ dependen de la dimensionalidad del AdS y la masa del campo..)

Según su notación, su condición de contorno "regular" en general corresponde al establecimiento $\beta(x)$ (el coeficiente de $r^{\Delta_{-}}$ ) a cero en el límite y se establece la condición de límite "regular" $\alpha(x)$ (el coeficiente de $r^{\Delta_{+}}$ ) a cero.

¿Cómo es esto compatible con el hecho de que al usar la condición de frontera regular la CFT dual necesariamente necesita tener un término de la forma $\int d^d x \beta(x)O(x)$ dónde $O$ tiene dimensión $\Delta_{+}$ y $\alpha = \langle O \rangle$ ?

Pensé que ellos mismos decían que en el escenario regular el $\beta$ se está configurando para $0$ en el límite, entonces, ¿qué es esto? $\beta(x)$ que se presenta en la acción límite?
Debajo de la ecuación 3.19, argumentan que cuando se apaga la deformación de doble trazo del límite CFT, se ve el escenario "irregular" y cuando se gira al infinito, se ve el escenario regular.

Pero, ¿cómo se argumenta que el escenario regular es el punto fijo IR y el escenario irregular es el punto fijo UV para el límite CFT? ¿Dónde está ese argumento?
Repensando la sección 4 de este documento de una manera diferente: supongamos que uno quiere calcular el determinante de la teoría del volumen. $det(-\nabla^2 + m^2)$ tomando el producto de los valores propios. Uno quiere decir calcular el determinante cuando el grueso ha sido cuantificado con el $\Delta_{+}$ condición de contorno. (... uno puede presumiblemente hacer la misma pregunta con $\Delta_{-}$ también..)

Si el grueso es $AdS_{d+1}$ entonces se puede ver que las asintóticas con r minúscula ( $r=0$ es el límite de AdS en el parche de Poincaré) de los armónicos son de la forma, $# r^{a} + # r^{b}$ para algunos valores $a$ y $b$ (que dependen del valor propio y $d$ ).

Ahora, conociendo las asintóticas de r minúscula de los armónicos, ¿cómo se elige cuál de estos contribuirá al determinante anterior con, por ejemplo, el $\Delta_{+}$ condición de contorno? ¿Alguien puede dibujar esquemáticamente cómo se ve el cálculo?

Trimok

Estoy de acuerdo en que la oración "Para masas generales, el campo debe cuantificarse con la condición de contorno

β = 0

$\beta = 0$ , la llamada elección "regular" de las condiciones de contorno" no está clara (al menos para mí).

β = β (x)

$\beta = \beta (x)$ es una función de

x

$x$ , no es una función de

r

$r$ , por lo que a primera vista parece una tontería hablar de una condición de frontera para

β

$\beta$ . ¿Es un límite diferente? En uno de los artículos citados , hay más información (ver ecuación

2.9

$2.9$ página

6

$6$ ), pero nada definitivo.

usuario6818

hmm..gracias :) Sería genial si pudieras ayudar con los otros 2 puntos también... :)

Respuestas (1)

El efecto de deformación de doble trazo en AdS/CFT

Estoy de acuerdo en que la oración "Para masas generales, el campo debe cuantificarse con la condición de contorno $\beta = 0$ , la llamada elección "regular" de las condiciones de contorno" no está clara (al menos para mí). $\beta = \beta (x)$ es una función de $x$ , no es una función de $r$ , por lo que a primera vista parece una tontería hablar de una condición de frontera para $\beta$ . ¿Es un límite diferente? En uno de los artículos citados , hay más información (ver ecuación $2.9$ página $6$ ), pero nada definitivo.
hmm..gracias :) Sería genial si pudieras ayudar con los otros 2 puntos también... :)

Trimok · Answer 1

Una posible pista:

siguientes ecuaciones $2.5 \to 2.7$ ), podemos definir Kernels - transformada de Fourier de la $2$ -función de punto - para los casos límite ( $f=0, f = +\infty$ ) :

{GRAMO}_{\pm} (k) \sim \int d^{d} k {mi}^{i k . X} \frac{1}{X^{2 Δ_{\pm}}}

$G_{\pm}(k) \sim \int d^dk ~e^{ik.x} \frac{1}{x^{2 \Delta_\pm}}$

Tenemos entonces: $G_{\pm}(k) \sim ~ k^{\pm2\nu}$ , dónde $\nu > 0$

Vemos, que en la UV, el kernel $G^+$ diverge, por lo que no es relevante en el UV, pero converge en el IR. De la misma manera, en el IR, el kernel $G^-$ diverge, por lo que no es relevante para el IR, pero converge en el UV, por lo que parecería natural asociar la dimensión conforme $\Delta^-$ ( $f=0$ ), con la UV y la dimensión conforme $\Delta^+$ ( $f=+\infty$ ) con su.

Tendríamos un flujo RG que comienza con $f=0$ en la UV, para terminar en $f=+\infty$ en el infrarrojo

Finalmente, una lista de los términos empleados en el artículo, que no siempre son claros:

\begin{matrix} tu V & I R \\ F = 0 & F = + \infty \\ " i r r mi gramo tu yo a r " q tu a norte t i z a t i o norte & " r mi gramo tu yo a r " q tu a norte t i z a t i o norte \\ Δ^{-} & Δ^{+} \\ " i r r mi gramo tu yo a r " b o tu norte d a r y v a yo tu mi & " r mi gramo tu yo a r " b o tu norte d a r y v a yo tu mi \\ α = s o tu r C mi & β = s o tu r C mi \\ β = ⟨ O ⟩ & α = ⟨ O ⟩ \\ γ = - Δ^{-} & γ = + \infty \end{matrix}

$\begin {matrix} UV & IR \\ f=0 & f=+\infty\\ "irregular" quantization & "regular" quantization\\ \Delta^- & \Delta^+\\ "irregular" boundary\, value & "regular" boundary \, value\\ \alpha = source & \beta = source\\ \beta = \langle O\rangle & \alpha = \langle O\rangle\\ \gamma = - \Delta^- &\gamma= + \infty\\ \end{matrix}$

¿No has ensuciado tu mesa por completo? :) Pensé que lo que se dijo en la página 6 era que el IR es el escenario normal cuando $\beta$ está apagado pero también está generando el operador de límite $O$ cuyo valor esperado de vacío es $\alpha$ ? :)
¡El argumento entre 2.4-2.9 es completamente opaco para mí! Hay demasiadas cosas allí que no tienen sentido para mí. (1) Para que 2.3 y 2.1 sean iguales, deben tener, $\sqrt{ det (-\frac{I}{f})}\int D\sigma e^{\int \frac{(\sigma + fO )^2 }{2f} } = 1$ ¿¡Cómo es esto cierto!? Se puede pensar en hacer la integral gaussiana sustituyendo el campo $y = \frac{ i(\sigma + fO )}{\sqrt{f}}$ pero esa integral de trayectoria se evaluaría como $\frac{i}{\sqrt{f det(I)}}$
(2) Para usar la factorización N grande 2.4 en 2.3, ¿no necesitan eso? $<e^{\int [\frac{\sigma^2}{2f } + (\sigma +J)O ] } >_0 = < e^{\int [\frac{\sigma^2}{2f }] }>_0 <e^{\int [(\sigma +J)O] } >_0$ ¿¡Y por qué debería ser esto cierto!?
(3) E incluso si asumo todo lo dicho antes, ¡no veo cómo se deduce 2.9 de todo eso!
a) Cometí un error con la cuantificación regular/irregular => corregido. Pero los demás elementos de la tabla son correctos. Por supuesto, no entiendo el $\beta=0$ apagar.
b) El paso de $2.3$ a $2.1$ es simple (hasta una constante): Imagina $\sigma$ como una variable unidimensional. Tienes : $\int d\sigma e^{-{\frac{1}{2} (-f^{-1})\sigma^2}+ \sigma O} = \sqrt{\frac{2\pi}{det(-f^{-1})}} e^{\frac{1}{2}(-f)O^2}$ . Entonces, ahora, con álgebra básica (y hasta una constante de renormalización global), tienes $2.1$
c) En relación con el operador $O(x)$ (usted puede ver $O(x)$ también como una variable aleatoria), $\sigma(x)$ o $J(x)$ aparecen como "constantes" (no hay variables u operadores aleatorios, hay funciones simples), así que sí, su factorización en su comentario $(2)$ es correcto.
d) Para su último punto $(3)$ , tienes que usar $2.4$ y utilice la función estándar de 2_puntos. La idea es encontrar la nueva función de 2 puntos ( $2.9$ ), $2.10$ . Si hace una nueva pregunta de PSE, la miraré, hay un poco de trabajo por hacer, creo
¿Por qué te integras? $\int D\sigma e^{-\frac{1}{2}(-f^{-1})\sigma^2 + \sigma O }$ ? Esta forma de la $\sigma$ la dependencia es sólo una consecuencia de insertar en el original $2.1$ un factor de la forma $\int D\sigma e^{\int \frac{(\sigma + fO )^2 } { 2f} }$ - y este factor se puede insertar (con el ajuste del prefactor) solo si $\sqrt{Det(-\frac{I}{f})}\int D\sigma e^{\int \frac{(\sigma + fO )^2 } { 2f} } =1$ - y esta identidad no parece verdadera a menos que uno acepte cambiar arbitrariamente los prefactores.
Para una función general $G(\sigma(x), O(x))$ , tienes : $\int D\sigma ~e^{\int ~dx ~G(\sigma(x), O(x))} = \int \Pi_x d\sigma(x) ~e^{\int ~dx ~G(\sigma(x), O(x))} = \int \Pi_x d\sigma(x) ~ \Pi_x e^{G(\sigma(x), O(x))} = \Pi_x \int d\sigma(x) e^{G(\sigma(x), O(x))}$

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