derivación alternativa de la relación de Einstein

¿Existe una derivación de la relación Einstein-Smoluchowski sin la suposición de la distribución de Boltzmann? Cada vez que veo una derivación, siempre asume la distribución de Boltzmann, como la derivación en wikipedia .

Mi problema es que la causalidad está al revés. Para mí, la distribución de Boltzmann es causada por el movimiento dinámico de los átomos, no que el movimiento dinámico de los átomos sea causado por la distribución de Boltzmann. He visto una afirmación aquí de que es un balance detallado, pero incluso aquí usaron el supuesto de distribución de Boltzmann. No entiendo el teorema de disipación de fluctuación, pero debería haber una explicación simple para esto.

Respuestas (1)

Para mí, la distribución de Boltzmann es causada por el movimiento dinámico de los átomos, no que el movimiento dinámico de los átomos sea causado por la distribución de Boltzmann.

Causado es una palabra peligrosa aquí. Más bien, la distribución de Boltzmann te dice las propiedades estadísticas del movimiento. Por lo tanto, no hay nada de malo en derivar resultados sobre las estadísticas del movimiento a partir de la distribución de Boltzmann: las partículas brownianas estarán en equilibrio térmico con el fluido, por lo tanto, seguirán una distribución de Boltzmann y de ahí obtenemos la relación anterior.

Un método más microscópico para obtener las relaciones del movimiento browniano son las ecuaciones de Langevin (ecuaciones diferenciales estadísticas). Allí modelas la influencia del baño termal por una fuerza estocástica. En este modelo se puede observar como los sistemas alcanzan el equilibrio térmico a partir de unas condiciones iniciales. La relación en cuestión se alcanza en el formalismo asumiendo una escala de tiempo grande en comparación con el tiempo de amortiguamiento (que es equivalente a la suposición de equilibrio térmico). La derivación original de Langevin también asumió el equilibrio al usar el teorema virial en la forma 1 2 metro ⟨ X ¨ ⟩ 2 = 1 2 ⟨ T ⟩ .

La conclusión es: la relación de Einstein es un resultado sobre la cinemática de las partículas brownianas en equilibrio, por lo tanto, es necesario exigir que las partículas estén en equilibrio para derivarla.

Gracias. Por supuesto, debe asumir que está en equilibrio, pero no necesita usar la distribución de Boltzmann explícitamente. Supongo que repasar las ecuaciones de Langevin hasta el final es mucho más largo que simplemente insertar la distribución de Boltzmann.
No es significativamente más largo (dependiendo de dónde comience, por supuesto). La suposición de equilibrio queda entonces oculta en la suposición de un fuerte amortiguamiento. Pero, de hecho, la distribución de Boltzmann no aparecerá explícitamente en su cálculo con este método. (Sin embargo, para determinar la fuerza del ruido en primer lugar, uno tiene que derivar otro teorema de disipación de fluctuación, suponiendo nuevamente que el sistema está en equilibrio).
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